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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 1.3 - Ex. 33

Encontre as funções (a) f ∘ g , (b) g ∘ f , (c) f ∘ f e (d) g ∘ g , e seus domínios.

f x = 1 - 3 x ,               g x = cos ⁡ x

Passo 1

Fala meu povo.

Nessa questão temos que encontrar a composição das funções f e g :

f x = 1 - 3 x

g x = cos ⁡ x

Mas o que é uma composição de funções?

É quando você substitui o x de uma função, por outra função, fazendo por exemplo:

f ∘ g = f g x

Vamos ver isso em cada uma das letras.

E por fim, vamos dizer qual o domínio (isso é, os valores que x pode assumir) da nossa função composta.

Basicamente, o domínio de uma função composta ( f ∘ g ) vai ser igual a interseção entre os domínios das funções f e g .

No nosso caso, tanto a função f quanto a função g não possuem restrição quanto ao seu domínio, isso é, qualquer valor real podem ser valores de x .

D o m ( f ) = R

D o m ( g ) = R

Dessa forma, a interseção entre esses domínios, vai ser também qualquer valor real.

Passo 2

Por exem

  1. f ∘ g

    2. Vamos lembrar que a composição f ∘ g quer dizer f ( g x ) , ok? Agora basta substituir as funções dadas no enunciado.

    f ∘ g = f cos ⁡ x = 1 - 3 cos ⁡ x

    f ∘ g = 1 - 3 cos ⁡ x             D o m ( f ∘ g ) = R

    Passo 3

  2. g ∘ f

    3. Queremos aqui encontrar g ( f x ) , ok? Agora basta substituir as funções dadas no enunciado.

    g ∘ f = g 1 - 3 x = cos ⁡ ( 1 - 3 x )

    g ∘ f = cos ⁡ ( 1 - 3 x )             D o m ( g ∘ f ) = R

    Passo 4

  3. f ∘ f

    4. E se tivermos f ( f x ) , é só seguir pelo mesmo caminho né?

    f ∘ f = f 1 - 3 x = 1 - 3 1 - 3 x = 1 - 3 + 9 x

    f ∘ f = 9 x - 2             D o m ( f ∘ f ) = R

    Passo 5

  4. g ∘ g

Por fim, queremos aqui g ( g x ) , ok? Então bora substituir as funções dadas no enunciado.

g ∘ g = g cos ⁡ x = cos ⁡ ( cos ⁡ x )

g ∘ g = cos ⁡ ( cos ⁡ x )                 D o m ( g ∘ g ) = R

Resposta

  1. f ∘ g = 1 - 3 cos ⁡ x             D o m ( f ∘ g ) = R
  2. g ∘ f = cos ⁡ ( 1 - 3 x )             D o m ( g ∘ f ) = R
  3. f ∘ f = 9 x - 2             D o m ( f ∘ f ) = R
  4. g ∘ g = cos ⁡ ( cos ⁡ x )                 D o m ( g ∘ g ) = R
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