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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 1.3 - Ex. 33

Encontre as funções a f ∘ g , b g ∘ f , c f ∘ f e d g ∘ g e seus domínios.

f x = 3 x + 5 ,                 g x = x 2 + x

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema foram dadas duas funções

f x = 3 x + 5 ,                 g x = x 2 + x

A partir dessas duas funções queremos obter as funções compostas f ∘ g , g ∘ f , f ∘ f e g ∘ g e determinar seus domínios.

Parece complicado?

Primeiro, para obter as funções compostas, temos que pegar a primeira função e no lugar da variavel x , substituir a segunda função.

Já para determinar o domínio da função, temos que analisar os possíveis valores que x pode assumir para que a função exista.

Bora começar!

Passo 2

A primeira função composta é dada por f ∘ g . Então pegamos f x e no lugar de x , substituímos por g x .

f x = 3 x + 5 → f g x = 3 g x + 5

Se g x = x 2 + x

f ∘ g = f g x = 3 x 2 + x + 5

f ∘ g = 3 x 2 + 3 x + 5

Como temos um polinômio, x não possui nenhuma restrição, logo o domino pode ser definido como todos os valores reais

D o m f ∘ g = x ∈ R

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora queremos obter g ∘ f . Seguindo os mesmos passos do passo anterior.

Se f x = 3 x + 5 e g x = x 2 + x

g ∘ f = g f x = f x 2 + f x

g ∘ f = 3 x + 5 2 + 3 x + 5

g ∘ f = 9 x 2 + 33 x + 30

Novamente temos um polinômio... então já sabemos qual é o seu domínio, não é?

D o m g ∘ f = x ∈ R

Bacana, não é?

Passo 4

Agora vamos obter f ∘ f ...

Se f x = 3 x + 5 , então

f x = 3 x + 5 → f f x = 3 f x + 5  

f ∘ f = f f x = 3 3 x + 5 + 5  

f ∘ f = 9 x + 20

Nessa função obtemos uma reta. E como uma reta é infinita, seu domínio tambem é... logo

D o m f ∘ f = x ∈ R

Show?

Passo 5

Por fim, queremos obter g ∘ g ...

Se g x = x 2 + x , temos

g x = x 2 + x → g g x = g x 2 + g x

g ∘ g = g g x = x 2 + x 2 + x 2 + x

g ∘ g = x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 + x

Novamente caímos em um polinômio, portanto seu domínio é dado por

D o m g ∘ g = x ∈ R

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

a )   f ∘ g = 3 x 2 + 3 x + 5 ,     D o m f ∘ g = x ∈ R

b )   g ∘ f = 9 x 2 + 33 x + 30 ,     D o m g ∘ f = x ∈ R

c )   f ∘ f = 9 x + 20 ,     D o m f ∘ f = x ∈ R

d )   g ∘ g = x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 + x ,     D o m g ∘ g = x ∈ R

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Sejam f x = x - 3 , g x = x , h x = x 3 e j x = 2 x . Expressa cada uma das funções como função composta envolvendo uma ou mais funções de f , g , h e j . y = x - 3 y = 2 x y = x 1 / 4 y = 4 x y = x -
Sejam f x = x - 3 , g x = x , h x = x 3 e j x = 2 x . Expressa cada uma das funções como função composta envolvendo uma ou mais funções de f , g , h e j . y = x - 3 y = 2 x y = x 1 / 4 y = 4 x y = x -
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Sejam f x = x - 3 , g x = x , h x = x 3 e j x = 2 x . Expressa cada uma das funções como função composta envolvendo uma ou mais funções de f , g , h e j . y = x - 3 y = 2 x y = x 1 / 4 y = 4 x y = x -