Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 91
Seja
a) Use a definição de derivada para calcular .
b) Mostre que tem derivada de todas as ordens definidas em . [Sugestão: Mostre primeiro por indução que existe um polinômio e um inteiro não negativo tal que para .]
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá a seguinte função:
No item (a), devemos usar a definição de derivada para calcular a derivada de em .
Já no item (b), devemos mostrar que admite derivas de todas as ordem em : para isso, vamos tentar usar a sugestão dada, o que vai requerer uma prova por indução.
Vamos relembrar como se demonsta algum usando o Princípio da Indução Infinita (PIF).
- Primeiro mostramos que vale para .
- Depois supomos que vale para e usamos isso para mostra que vale para .
Passo 2
Não entendeu ainda?? Então se liga nessa analogia:
Pense num jogo de dominó: o primeiro passo significa mostrar que o primeiro dominó cai. Já o segundo passo significa mostrar que se um dominó cai, o seguinte cai também.
Desta forma, se o primeiro cai, o segundo cai também; se o segundo cai, o terceiro cai também, e consequentemente o quarto e assim por diante: todos os dominós vão cair.
A lógica quando demonstramos algo usando o PIF é a mesma!!!
Passo 3
No item (a) não vamos usar o PIF, precisamos apenas da definição de derivada:
Como , temos que
Quando , , de modo que temos uma indeterminação do tipo 0/0.
Vamos fazer uma mudança de variável: .
Assim, quando , . Logo, o limite fica
Passo 4
Agora temos uma indeterminação dotipo e podemos aplicar a regra de L’Hospital.
Como , temos que:
Assim, temos que
Passo 5
Agora vamos resolver o item (b).
Vamos comçar coma sugestão dada no enunciado. Usando o PIF, o primeiro passo é mostrar que vale para . Para , derivando :
Tomando e , vemos que para , vale para .
Agora vamos à parte mais chatinha: a segunda parte do PIF. Vamos supor que a relação vale para (algum dominó cai), vamos provar que vale também para (o dominó seguinte cai).
Como vale para , temos que
Passo 6
Agora vamos derivar essa expressão para achar :
Para simplificar notação, vou chamar . Assim,
Temos que
Como , temos que
Passo 7
Assim, fazendo o mmc:
Para simplificar notação, vou chamar , assim
Como , temos que
Por outro lado,
Assim,
Definindo e , temos que
Provamos assim por indução que para ,
Passo 8
Vimos então que para , admite derivadas de todas as ordens.
E para ? Vamos definir que para , .
Assim, a próxima derivada, pela definição, será
Para simplificar, vamos tomar e . Assim,
Como é um polinômio, o limite será finito, então apenas o outro limite importa:
Passo 9
Devemos mostrar que esse limite é nulo de modo que, se tomarmos , então e, assim, todas a derivadas calculadas em serão nulas e definidas nesse ponto.
Vamos fazer a mudança de variável . Assim, quando , . Por outro lado, , de modo que
Desta forma, o limite fica
Passo 10
Note que temos uma indeterminação do tipo . Aplicando a regra de L’Hospital:
Se , o limite se anulará.
Caso contrário, teremos novamente uma indeterminação do tipo e poderemos aplicar L’Hospital de novo. Em algum momento, e o limite se anulará.
Assim, provamos que .
Desta forma, definindo as derivadas de como
vemos que tem derivada de todas as ordens definidas em .
Resposta
a) .
b) Demonstração.