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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.2 - Ex. 4

Determine os domínios e as imagens de f , g , f // g , g // f

f (x) = 1

g (x) = 1 + sqrt(x)

Passo 1

A questão é bem direta ao ponto. Precisamos determinar as funções compostas e depois o domínio e a imagem de cada uma delas. Antes de começar qualquer coisa, vamos relembrar o que é o domínio e a imagem de uma função:

  • O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de x que satisfazem a nossa f ( x ) . Isto é, faz com que f ( x ) exista;
  • A imagem é o conjunto de todos os valores de f ( x ) , para cada valor de x .

O domínio da função f // g e g // f consiste na interseção dos domínios da função f e g e o denominador deve ser diferente de 0, visto que não existe divisão por 0. Em outras palavras, isto é:

D_f // g = D_f nn D_g e g ( x ) != 0

D_g // f = D_f nn D_g e f ( x ) != 0

Já o valor da imagem será analisado caso a caso.

Passo 2

A função f consiste em uma função constante. O seu domínio consiste nos números reais. E, para todo número pertencente aos números reais, o valor de f ( x ) será igual a 1. Logo, a imagem é somente o número 1.

Passo 3

A função g (x) = 1 + sqrt(x) consiste na soma de uma constante com uma raiz. Toda raiz quadrada só aceita como argumento números maiores ou iguais a zero. Portanto, o domínio da função deverá aceitar a seguinte restrição:

x >= 0

Portanto, D_g = {x in R| x >= 0 } . Já em relação a imagem, a função sqrt(x) tem como imagem o intervalo [ 0 , oo ) . Ao adicionarmos uma unidade, conforme a função g , a imagem será o intervalo [ 1 , oo ) .

Passo 4

Como a função g ( x ) não possui nenhum valor de x tal que g (x) = 0 , o domínio da função f // g consiste na interseção dos domínios das funções f e g . Consequentemente:

D_f + g = {x in R| x >= 0 }

Já a imagem, à medida em que x se afasta da origem, isto é, x ≫ 0 o valor de f // g decresce (denominador cresce) e tende a 0. O máximo ocorre quando x = 0 , o que implica em (f (0))/(g (0)) = 1 . Portanto, a imagem é o intervalo ( 0 , 1 ] .

Passo 5

A função g // f consiste exatamente na função g ( x ) , vejamos abaixo:

(g ( x ))/(f ( x )) = (1 + sqrt(x))/(1) = 1 + sqrt(x)

Portanto, os domínios e imagens são exatamente iguais ao da função g ( x ) .

Resposta

Função f ( x ) :

  • Domínio: Números reais;
  • Imagem: y = 1

    • Função g ( x ) :

  • Domínio: D_g = {x in R| x >= 0 } ;
  • Imagem: [ 1 , oo ) .

    • Função f ( x ) // g ( x ) :

  • Domínio: D_f // g = {x in R| x >= 0 } ;
  • Imagem: ( 0,1 ]

    • Função g (x) // f ( x ) :

  • Domínio D_g // f = {x in R| x >= 0 } ;
  • Imagem: [ 1 , oo ) .
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