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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 60

Encontre as integrais nos Exercícios 17-66.

int (1)/(sqrt(e^(2 theta) - 1)) d theta

Passo 1

Vamos começar fazendo uma mudança de variável:

u = sqrt(e^(2 theta) - 1)

Derivando dos dois lados:

d u = (1)/(2 sqrt(e^(2 theta) - 1)) * (e^(2 theta) - 1)^' d theta = (1)/(2 sqrt(e^(2 theta) - 1)) * 2 e^(2 theta) d theta = (e^(2 theta))/(sqrt(e^(2 theta) - 1)) d theta

(d u)/(e^(2 theta)) = (d theta)/(sqrt(e^(2 theta) - 1))

Passo 2

Substituindo na integral:

int (1)/(sqrt(e^(2 theta) - 1)) d theta = int (d u)/(e^(2 theta))

Lembrando que,

u = sqrt(e^(2 theta) - 1) -> u^2 = e^(2 theta) - 1 -> e^(2 theta) = u^2 + 1

Colocando na integral:

int (d u)/(u^2 + 1)

Calculando a integral:

int (d u)/((1 + u^2)) = arctan u

Agora temos que fazer a subtituição ao contrário para resolvermos o exercício:

arctan u = arctan (sqrt(e^(2 theta) - 1)) + C

Fim!!!

Resposta

arctan (sqrt(e^(2 theta) - 1)) + C

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