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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 8j

8. Calcule

j ) int (1)/(x^2 + 2 x + 2) d x

Passo 1

Podemos arrumar o denominador para chegar em algo que conhecemos, primeiro precisamos lembrar do produto notável (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 . Podemos perceber que, no nosso caso, considerando que a = x temos que o único valor de b que poderá resultar no termo 2 x é b = 1 . Ou seja,

Como (x + 1)^2 = x^2 + 2 x + 1 , temos que sobra 1 no denominador

int (1)/(x^2 + 2 x + 2) d x = int (1)/(x^2 + 2 x + 1 + 1) d x = int (1)/((x + 1)^2 + 1) d x = int (1)/(1 + (x + 1)^2) d x

Passo 2

Vemos que essa integral é parecida com int (1)/(1 + x^2) d x = tan^(- 1) x + k . Vamos deixar ela ainda mais parecida com a pontuada fazendo

u = x + 1 => d u = d x

Substituindo na integral

int (1)/(1 + (x + 1)^2) d x = int (1)/(1 + u^2) d x = tan^(- 1) u + k = tan^(- 1) ( x + 1 ) + k

Resposta

Portanto,

int (1)/(x^2 + 2 x + 2) d x = tan^(- 1) ( x + 1 ) + k

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Calcule a integral com a ajuda de uma substituição u apropriada.2. ∫ 1 sec ⁡ π x d x
Calcule a integral int_0^1 (x^3)/(sqrt(x^2 + 1)) d x usando (b) a substituição u = sqrt(x^2 + 1) .
(a) Calcule a integral de três maneiras: usando a substituição u = x , usando a substituição u = 2 - x , e completando o quadrado. ∫ 1 2 x - x 2d x (b) Mostre que as respostas de (a) são equivalentes.
Calcule a integral com a ajuda de uma substituição u apropriada. ∫ x tan 2 ⁡ ( x 2 ) sec 2 ⁡ ( x 2 ) d x
Calcule a integral com a ajuda de uma substituição u apropriada. ∫ d x x ln ⁡ x