8. Calcule

j )   ∫ 1 x 2 + 2 x + 2 d x

Passo 1

Podemos arrumar o denominador para chegar em algo que conhecemos, primeiro precisamos lembrar do produto notável a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 . Podemos perceber que, no nosso caso, considerando que a = x temos que o único valor de b que poderá resultar no termo 2 x é b = 1 . Ou seja,

Como x + 1 2 = x 2 + 2 x + 1 , temos que sobra 1 no denominador

∫ 1 x 2 + 2 x + 2 d x =   ∫ 1 x 2 + 2 x + 1 + 1 d x =   ∫ 1 x + 1 2 + 1 d x = ∫ 1 1 + x + 1 2 d x    

Passo 2

Vemos que essa integral é parecida com ∫ 1 1 + x 2 d x =   tan - 1 ⁡ x + k . Vamos deixar ela ainda mais parecida com a pontuada fazendo

u = x + 1   ⇒ d u = d x

Substituindo na integral

∫ 1 1 + x + 1 2 d x =   ∫ 1 1 + u 2 d x = tan - 1 ⁡ u + k = tan - 1 ⁡ ( x + 1   ) + k

Resposta

Portanto,

∫ 1 x 2 + 2 x + 2 d x =   tan - 1 ⁡ ( x + 1   ) + k

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados