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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 8e

8. Calcule

e)

int (x)/(5 + x^2) d x

Passo 1

Queremos integrar o seguinte:

I = int (x)/(5 + x^2) d x

A derivada do denominador é bem parecida com o numerador, se liga só:

u = 5 + x^2

Derivando,

d u = 2 x d x -> x d x = (d u)/(2)

Viu que apareceu o termo x d x ?!

Passo 2

Nossa integral era:

I = int (x)/(5 + x^2) d x

E vai ficar o seguinte:

I = int (1)/(u) (d u)/(2)

Arrumando as coisas, temo:

I = (1)/(2) int (d u)/(u)

Não esquece: int (1)/(x) d x = ln | x | + c

Passo 3

Pra finalizar, vamos integrar usando o lembrete ali de cima!

I = (1)/(2) ln |u| + k

Voltando para variável x :

u = 5 + x^2

Logo,

I = (1)/(2) ln ( 5 + x^2 ) + k

Resposta

int (x)/(5 + x^2) d x = (1)/(2) ln ( 5 + x^2 ) + k

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