8. Calcule

e)

∫ x 5 + x 2   d x

Passo 1

Queremos integrar o seguinte:

I = ∫ x 5 + x 2   d x

A derivada do denominador é bem parecida com o numerador, se liga só:

u = 5 + x 2

Derivando,

d u = 2 x d x → x d x = d u 2

Viu que apareceu o termo x d x ?!

Passo 2

Nossa integral era:

I = ∫ x 5 + x 2   d x

E vai ficar o seguinte:

I = ∫ 1 u d u 2

Arrumando as coisas, temo:

I = 1 2 ∫ d u u

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ | x | + c

Passo 3

Pra finalizar, vamos integrar usando o lembrete ali de cima!

I = 1 2 ln ⁡ u + k

Voltando para variável x :

u = 5 + x 2

Logo,

I = 1 2 ln ⁡ ( 5 + x 2 ) + k

Resposta

∫ x 5 + x 2   d x =   1 2 ln ⁡ ( 5 + x 2 ) + k

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