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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 8d

8. Calcule

d)

int (3)/(5 + x^2) d x

Passo 1

Queremos calcular a seguinte integral:

I = int (3)/(5 + x^2) d x

Deixa eu te lembrar uma integral:

int (d u)/(1 + u^2) = arct g (u) + C

Viu que ta parecido? Então vamos mexer um pouco pra ficar igualzinho!

Passo 2

Vamos ver o termo que queremos integrar.

E = (3)/(5 + x^2)

Passando esse 3 pra baixo:

E = (1)/((5)/(3) + (x^2)/(3))

Lá no passo 1, vemos que o denominador é 1 + u^2 . Então vamos colocar o 5 // 3 em evidencia!

E = (1)/((5)/(3) (1 + (x^2)/(5)))

Então nossa integral fica da seguinte forma:

I = int (1)/((5)/(3) (1 + (x^2)/(5))) d x

Tirando 5 // 3 da integral:

I = (3)/(5) int (1)/((1 + (x^2)/(5))) d x

Passo 3

Agora é só fazermos a seguinte troca:

u^2 = (x^2)/(5) -> u = (x)/(sqrt(5))

Derivando,

d u = (d x)/(sqrt(5)) -> d x = sqrt(5) d u

Então a integral fica:

I = (3)/(5) sqrt(5) int (1)/((1 + u^2)) d u

Usando o resultado do Passo 1:

I = (3)/(5) sqrt(5) (arct g (u) + C)

Voltando para variável x e juntando as constantes:

(3)/(5) sqrt(5) arct g ((x)/(sqrt(5))) + k

Isto é,

I = (3)/(sqrt(5)) arct g ((x)/(sqrt(5))) + k

Resposta

int (3)/(5 + x^2) d x = (3)/(sqrt(5)) arctan ((x)/(sqrt(5))) + k

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