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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 8n

8. Calcule

n ) int (1)/(x^2 + x + 1) d x

Passo 1

Antes de tudo, precisamos arrumar o denominador para chegar em algo que é conhecido por nós. Para isso, devemos lembrar do produto notável (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 . Assim, podemos perceber que, no nosso caso, considerando que a = x , temos que o único valor de b que poderá resultar no termo x é b = (1)/(2) . Ou seja,

Como (x + (1)/(2))^2 = x^2 + x + (1)/(4) , temos que sobra (3)/(4) no denominador

int (1)/(x^2 + x + 1) d x = int (1)/(x^2 + x + (1)/(4) + (3)/(4)) d x = int (1)/((x + (1)/(2))^2 + (3)/(4)) d x = int (1)/((3)/(4) + (x + (1)/(2))^2) d x

Passo 2

Essa integral é parecida com int (1)/(a^2 + x^2) d x = (1)/(a) tan^(- 1) ((x)/(a)) + k . Vamos arrumar a integral que temos de forma a ficar ainda mais parecida com a pontuada. Para isso, fazemos

u = x + (1)/(2) => d u = d x

Substituindo na integral

int (1)/((3)/(4) + (x + (1)/(2))^2) d x = int (1)/((3)/(4) + u^2) d u = int (1)/((sqrt((3)/(4)))^2 + u^2) d u = int (1)/(((sqrt(3))/(sqrt(4)))^2 + u^2) d u

int (1)/(((sqrt(3))/(sqrt(4)))^2 + u^2) d u = int (1)/(((sqrt(3))/(2))^2 + u^2) d u = (1)/(((sqrt(3))/(2))) tan^(- 1) ((u)/(((sqrt(3))/(2)))) + k

= (2)/(sqrt(3)) tan^(- 1) ((2)/(sqrt(3)) u) + k = (2)/(sqrt(3)) tan^(- 1) ((2)/(sqrt(3)) (x + (1)/(2))) + k = (2)/(sqrt(3)) tan^(- 1) ((2 x + 1)/(sqrt(3))) + k

Resposta

Logo,

int (1)/(x^2 + x + 1) d x = (2)/(sqrt(3)) tan^(- 1) ((2 x + 1)/(sqrt(3))) + k

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