8. Calcule

n )   ∫ 1 x 2 + x + 1 d x

Passo 1

Antes de tudo, precisamos arrumar o denominador para chegar em algo que é conhecido por nós. Para isso, devemos lembrar do produto notável a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 . Assim, podemos perceber que, no nosso caso, considerando que a = x , temos que o único valor de b que poderá resultar no termo x é b = 1 2 . Ou seja,

Como x + 1 2 2 = x 2 + x + 1 4 , temos que sobra 3 4 no denominador

∫ 1 x 2 + x + 1 d x =   ∫ 1 x 2 + x + 1 4 + 3 4 d x =   ∫ 1 x + 1 2 2 + 3 4 d x   = ∫ 1 3 4 + x + 1 2 2 d x  

Passo 2

Essa integral é parecida com ∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a tan - 1 ⁡ x a + k . Vamos arrumar a integral que temos de forma a ficar ainda mais parecida com a pontuada. Para isso, fazemos

u = x + 1 2 ⇒ d u = d x

Substituindo na integral

∫ 1 3 4 + x + 1 2 2 d x   = ∫ 1 3 4 + u 2 d u = ∫ 1 3 4 2 + u 2 d u =   ∫ 1 3 4 2 + u 2 d u    

∫ 1 3 4 2 + u 2 d u =   ∫ 1 3 2 2 + u 2 d u = 1 3 2 tan - 1 ⁡ u 3 2 + k    

= 2 3 tan - 1 ⁡ 2 3 u + k = 2 3 tan - 1 ⁡ 2 3 x + 1 2 + k = 2 3 tan - 1 ⁡ 2 x + 1 3 + k      

Resposta

Logo,

∫ 1 x 2 + x + 1 d x = 2 3 tan - 1 ⁡ 2 x + 1 3 + k    

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