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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 8f

8. Calcule

f ) int (3 x + 2)/(1 + x^2) d x

Passo 1

Vamos começar separando esse integral em duas partes

int (3 x + 2)/(1 + x^2) d x = int ((3 x)/(1 + x^2) + (2)/(1 + x^2)) d x = int (3 x)/(1 + x^2) d x + int (2)/(1 + x^2) d x

Passo 2

Agora, precisamos resolver essas duas integrais. Começando pela primeira

int (3 x)/(1 + x^2) d x = 3 int (x)/(1 + x^2) d x

Podemos ver que se derivarmos o denominador, teremos algo parecido com o numerador, faremos então

u = 1 + x^2 => d u = 2 x d x => x d x = (d u)/(2)

Substituindo na integral,

3 int (x)/(1 + x^2) d x = 3 int (1)/(u) (d u)/(2) = (3)/(2) int (1)/(u) d u

Lembrando que int (1)/(x) d x = l n |x| + k

(3)/(2) int (1)/(u) d u = (3)/(2) ln |u| + k = (3)/(2) ln |1 + x^2| + k

Como 1 + x^2 > 0 , podemos tirar o módulo

(3)/(2) ln |1 + x^2| + k = (3)/(2) ln ( 1 + x^2 ) + k

Passo 3

Para a segunda integral, vemos que ela é do tipo int (1)/(1 + x^2) d x = tan^(- 1) x + k

int (2)/(1 + x^2) d x = 2 int (1)/(1 + x^2) d x = 2 tan^(- 1) x + k

Resposta

Portanto,

int (3 x + 2)/(1 + x^2) d x = (3)/(2) ln (1 + x^2) + 2 tan^(- 1) x + k

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