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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 59

Encontre as integrais nos Exercícios 17-66.

int (5)/(9 + 4 r^2) d r

Passo 1

Vamos começar fazendo algumas mexidas na integral:

int (5)/(9 + 4 r^2) d r = 5 int (1)/(9 + 4 r^2) d r

Agora vamos fazer uma mudança de variável:

r = (3)/(2) u -> r^2 = (9)/(4) u^2

Derivando dos dois lados:

d r = (3)/(2) d u

Passo 2

Substituindo na integral:

5 int (1)/(9 + 4 r^2) d r = 5 int (1)/(9 + 4 ((9)/(4) u^2)) * (3)/(2) d u = 5 int (1)/(9 + 9 u^2) * (3)/(2) d u

Colocando em evidência:

5 int (1)/(9 (1 + u^2)) * (3)/(2) d u = (5)/(6) int (1)/((1 + u^2)) d u

Calculando a integral:

(5)/(6) int (1)/((1 + u^2)) d u = (5)/(6) arctan u

Agora temos que fazer a subtituição ao contrário para resolvermos o exercício:

(5)/(6) arctan u = (5)/(6) arctan ((2 r)/(3)) + C

Protinho!!!

Resposta

(5)/(6) arctan ((2 r)/(3)) + C

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