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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 109

Calcule as integrais dos Exercícios 69-116. As integrais estão listadas de maneira aleatória.

∫ x ln ⁡ x ln ⁡ x x d x

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é uma mudança de variável:

u = x ln ⁡ x

Aplicando logaritmo dos dois lados:

ln ⁡ u = ln ⁡ x ln ⁡ x

Lembrando das propriedades do logaritmo:

ln ⁡ 2 2 = 2 ln ⁡ 2

Assim,

ln ⁡ u = ln ⁡ x ln ⁡ x = ln ⁡ x 2

Derivando dos dois lados:

d u u = 2 ln ⁡ x 2 - 1 ln ⁡ x ' d x

d u u = 2 ln ⁡ x x d x → d u u ∙ 1 2 ln ⁡ x = d x x

Assim, colocando na integral:

∫ x ln ⁡ x ln ⁡ x x d x = ∫ x ln ⁡ x ln ⁡ x ∙ d x x = ∫ u ln ⁡ x ∙ d u u ∙ 1 2 ln ⁡ x = 1 2 ∫ d u

Passo 2

Calculando a integral:

1 2 ∫ d u = 1 2 u + C

Revertendo para a variável original:

1 2 u + C = 1 2 x ln ⁡ x + C

Pronto!!!

Resposta

1 2 x ln ⁡ x + C

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