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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 23

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

∫ 0 π 2 3 θ cos 2 ⁡ θ 3 / 2 d θ

Passo 1

Vamos começar fazendo uma mudança de variável:

u = θ 3 / 2

Derivando dos dois lados:

d u = 3 2 θ d θ

2 d u 3 = θ d θ

Além disso, vamos transformar os limites superior e inferior da integral para a nova variável:

θ = 0 → u = 0 3 / 2 = 0

θ = π 2 3 → u = π 2 3 3 / 2 = π

Passo 2

Colocando na integral,

∫ 0 π 2 3 θ cos 2 ⁡ θ 3 2 d θ = ∫ 0 π 2 3 cos 2 ⁡ θ 3 2 θ d θ = ∫ 0 π cos ⁡ u 2 ∙ 2 d u 3

∫ 0 π 2 3 θ cos 2 ⁡ θ 3 2 d θ = 2 3 ∫ 0 π cos ⁡ u 2 d u

Lembrando das relações trigonométricas:

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Assim,

2 3 ∫ 0 π cos ⁡ u 2 d u = 2 3 ∫ 0 π 1 + cos ⁡ 2 u 2 d u

Passo 3

Separando em dois termos:

2 3 ∫ 0 π cos ⁡ u 2 d u = 2 3 1 2 ∫ 0 π d u + 1 2 ∫ 0 π cos ⁡ 2 u d u

Calculando a integral:

2 3 1 2 ∫ 0 π d u + 1 2 ∫ 0 π cos ⁡ 2 u d u = 2 3 u 2 + sin ⁡ 2 u 2 ∙ 2 u ' 0 π = 2 3 u 2 + sin ⁡ 2 u 4 0 π = u 3 + sin ⁡ 2 u 6 0 π

2 3 1 2 ∫ 0 π d u + 1 2 ∫ 0 π cos ⁡ 2 u d u = π 3 + sin ⁡ 2 π 6 - 0 3 + sin ⁡ 2 ∙ 0 6 = π 3

Prontinho!!!

Resposta

π / 3

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