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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 33a

  1. Use os métodos das secções anteriores (isto é, sem substituição trigonométrica) para calcular a integral:

∫ 3 d x x 4 x 2 - 9

Passo 1

Pessoal, como vamos resolver essa integral sem substituição trigonométrica? A ideia aqui vai ser usar uma integral conhecida. Temos o seguinte resultado apresentado nas seções anteriores:

∫ d u u u 2 - a 2 = 1 a sec - 1 ⁡ u a + C

Percebam que essa integral é bem parecida com a nossa. A ideia vai ser transformar a nossa integral em uma desse tipo. Para isso nós vamos fazer uma manipulação e depois uma substituição simples.

∫ 3 d x x 4 x 2 - 9 = 3 ∫ d x x 2 x 2 - 9

Passo 2

Como vocês podem ver, se 2 x for igual a u , nós vamos ter justamente a integral que precisávamos. Faremos então 2 x = u   →       2 d x = d u     →       d x = d u 2 .

3 ∫ d x x 2 x 2 - 9 = 3 ∫ d u 2 u 2 u 2 - 9 = 3 ∫ d u u u 2 - 3 2

Opa! Agora ficou justamente o que queríamos.

Passo 3

Utilizando a fórmula ∫ d u u u 2 - a 2 = 1 a sec - 1 ⁡ u a + C , nós temos:

∫ 3 d x x 4 x 2 - 9 = 3 ∫ d u u u 2 - 3 2 = 3 1 3 sec - 1 ⁡ u 3 + C = sec - 1 ⁡ u 3 + C

Passo 4

Agora nós voltamos na variável x .

∫ 3 d x x 4 x 2 - 9 = sec - 1 ⁡ u 3 + C = sec - 1 ⁡ 2 x 3 + C

Esse é o resultado procurado.

Resposta

∫ 3 d x x 4 x 2 - 9 = sec - 1 ⁡ 2 x 3 + C

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