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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 28

Nos Exercícios de 21 a 28, calcule a integral indefinida.

∫ d x 1 + e x

Passo 1

Para esse caso teríamos dificuldade de começar a integração por substituição já de cara porquê não temos numerador que possa cortar nosso futuro e x proveniente da substituição.

Mas calma, vamos deixar bem simples e ainda vamos fazer por substituição.

A jogada é multiplicar o numerador e o denominador por algo, nesse caso vai ser por e - x , o que nos permite tanto ter um numerador em função de x , quanto eliminar o e x do denominar e evitar algo pior enquanto multiplicamos.

Olha só:

∫ d x 1 + e x ⋅ e - x e - x = ∫ e - x e - x + e x - x d x = ∫ e - x e - x + 1

Agora sim podemos usar a integração por substituição.

Nosso u será:

u = e - x + 1

Encontrando o diferencial de u , teremos:

d u = - e - x   d x

- d u e - x = d x

Vamos agora fazer a substituição do d x na nossa integral:

∫ e - x u - d u e - x = - ∫ e - x e - x u d u = - ∫ 1 u d u

Passo 2

Agora podemos resolver a integral.

Dado que ∫ 1 u d u = l n ⁡ ( | u | ) teremos:

- ∫ 1 u d u = - ln ⁡ u + C

Não esqueça da constante de integração.

Falta apenas trazer de volta a variável x :

= - ln ⁡ e - x + 1 + C

Resposta

∫ d x 1 + e x = - ln ⁡ e - x + 1 + C

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Use métodos anteriores a esta secção (isto é, sem usar frações parciais), para calcular a integral: ∫ 3 x + 1 d x x + 2 4
Calcule a integral indefinidaint (x - 1) e^(2 x^2 - 4 x) d x
Calcule a integral indefinidaint 2^(3 x) + e^(3 x) d x
Calcule a integral indefinidaint (10^(l n x^2))/(x) d x
Calcule a integral indefinidaint (10^x + 1)/(10^x - 1) d x