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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.3 - Ex. 2

Derive:

2) f x = x ∙ sen ⁡ x

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá:

f x = x ∙ sen ⁡ x

E pede pra a gente derivar!

Para isso vamos usar a regra do produto, pois temos aqui o produto entre duas funções deriváveis:

f ' x = g x h x ' = g x h ' x + h x g ' ( x )

Podemos dizer que:

g x = x

h x = sin ⁡ x

Bora colocar a mão na massa?

Passo 2

Antes de substituirmos na regra do produto, vamos calcular as derivadas de g ' ( x ) e h ' ( x ) separadamente:

g x = x = x 1 2

Aqui usamos a regra da potência:

g ' x = 1 2 x 1 2 - 1

g ' x = 1 2 x - 1 2

Agora h ( x ) :

h x = sin ⁡ x

Temos uma função trigonométrica, não tem mistério, conferindo na tabela vemos que:

h ' x = cos ⁡ x

Agora substituímos na regra do produto:

f ' x = g x h ' x + h x g ' ( x )

f ' x = x 1 2 cos ⁡ x + sin ⁡ x 1 2 x - 1 2

Arrumando:

f ' x = x . cos ⁡ x + sen ⁡ x 2 x

Prontinho!

Resposta

f ' x = x . cos ⁡ x + sen ⁡ x 2 x

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