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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 9

Encontre a integral indefinida geral.

∫ v v 2 + 2 2 d v  

Passo 1

Fala aee, beleza?? Bora calcular essa integral aqui:

∫ v v 2 + 2 2 d v  

Para isso, vamos abrir esse produto notável:

∫ v ( v 4 + 4 v 2 + 4 ) d v  

Fazendo a multiplicação:

∫ v 5 + 4 v 3 + 4 v d v  

Para resolver essa integral vamos usar que a integral de uma soma é igual a soma de integrais, ou seja:

∫ a + b d u = ∫ a d u + ∫ b d u

E que você pode colocar a constante para fora da integral, fazendo:

∫ K f x d x = K ∫ f x d x

Por fim, vamos usar que a integral de uma potência é dada da seguinte forma:

∫ u n d u = u n + 1 n + 1 + C

Onde C é uma constante e n ≠ - 1 .

Agora é só a gente integrar cada termo, usando a regrinha de integrar polinômio e manter a soma.

Passo 2

Então, temos:

∫ v 5 + 4 v 3 + 4 v d v  

Que é o mesmo que:

∫ v 5 d v + 4 ∫ v 3 d v + 4 ∫ v d v

Calculando a integral, sem esquecer da constante:

= v 5 + 1 5 + 1 + 4 v 3 + 1 3 + 1 + 4 v 1 + 1 1 + 1 + C

= v 6 6 + 4 v 4 4 + 4 v 2 2 + C

Portanto, teremos que:

∫ v v 2 + 2 2 d v   = v 6 6 + v 4 + 2 v 2 + C

E pronto 😊

Resposta

v 6 6 + v 4 + 2 v 2 + C

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