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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 27

Calcule a integral indefinida.

int (x^2 + 1) (x^3 + 3 x)^4 d x

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom.. queremos calcular a seguinte integral indefinida:

int (x^2 + 1) (x^3 + 3 x)^4 d x

Para isso, vamos usar a Regra da Substituição.

Mas que regra é essa?? Bom... trata-se da substituição de uma variável por uma expressão mais simples, tornando a integral mais fácil de resolver.

Quer saber como?? Então bora junto!! 😉

Passo 2

Colocando as mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = x^3 + 3 x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = (3 x^2 + 3) d x :.

(1)/(3) d u = (x^2 + 1) d x

Substituindo na integral, obtemos:

int (x^2 + 1) (x^3 + 3 x)^4 d x = int u^4 ((1)/(3) d u)

Bem mais agradável e imediata, não? Agora vamos resolver ela!!

Passo 3

Colocando a constante para fora, temos:

int u^4 ((1)/(3) d u) = (1)/(3) int u^4 d u

Pela regra da potência, temos:

int u^4 ((1)/(3) d u) = (1)/(3) ((1)/(4 + 1) u^(4 + 1 )) + C :.

int u^4 ((1)/(3) d u) = (1)/(3) ((1)/(5) u^5) + C :.

int u^4 ((1)/(3) d u) = (u^5)/(15) + C

Voltando a variável inicial, temos:

(u^5)/(15) + C = (1)/(15) (x^3 + 3 x)^5 + C

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

int (x^2 + 1) (x^3 + 3 x)^4 d x = (1)/(15) (x^3 + 3 x)^5 + C

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