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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 43

Calcule a integral

∫ 0 π f x d x

Onde

f x = sin ⁡ x ,     s e   0 ≤ x ≤ π 2 cos ⁡ x ,     s e   π 2 ≤ x ≤ π

Passo 1

Galera nessa questão temos que resolver a seguinte integral:

∫ 0 π f x d x

Mas ela é dada em partes, como:

f x = sin ⁡ x ,     s e   0 ≤ x ≤ π 2 cos ⁡ x ,     s e   π 2 ≤ x ≤ π

Como ela se comporta de forma diferente nesses 2 subintervalos, vamos dividir nossa integral em duas, fazendo portanto:

∫ 0 π f x d x = ∫ 0 π 2 f x d x + ∫ π 2 π f x d x

Aí para o primeiro intervalo, vamos usar o seno e para o segundo intervalo vamos usar o cosseno.

Com relação a integrar o seno e o cosseno, vamos lembrar quais são as funções que quando derivadas retornam o seno e o cosseno:

∫ s e n x d x = - cos ⁡ x + C

∫ cos ⁡ x d x = s e n x + C

Mas como aqui temos uma integral definida, não vamos usar essa constante C !

Vamos substituir os limites de integração fazendo:

∫ a b f x d x = F x b a = F b - F ( a )

Passo 2

Dividimos a nossa integral em duas, fazendo:

∫ 0 π f x d x = ∫ 0 π 2 s e n ( x ) d x + ∫ π 2 π c o s ⁡ ( x ) d x

Viu como ficou mais simples?! Agora é só a gente resolver as integrais

∫ 0 π 2 sin ⁡ x d x + ∫ π 2 π cos ⁡ x d x = - c o s ⁡ ( x ) π / 2 0 + s e n ( x ) π π / 2

E substituindo os nossos limites de integração, teremos:

- cos ⁡ π 2 + cos ⁡ 0 + sin ⁡ π - sin ⁡ π 2 =

0 + 1 + 0 - 1 =

1 - 1 = 0

Resposta

∫ 0 π f x d x = 0

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