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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 7a

7. Determine uma função potencial para cada campo gradiente F dado

a.

F x , y = e x sen ⁡ y ,   e x cos ⁡ y

Passo 1

Oiii, esse exercício afirma para a gente que nosso campo vetorial é conservativo e que admite uma função potencial. Logo podemos fazer a seguinte relação

F = ∇ U

F = ∂ U ∂ x , ∂ U ∂ y

Então basicamente para achar os campos conservativos, teremos que integrar parcialmente as componentes de F. Beleza? Partiu cair dentro então!!! \o/

Passo 2

No nosso caso temos a seguinte função

F x , y = e x sen ⁡ y ,   e x cos ⁡ y

Vamos integrar em relação a x primeiro.

U x =   e x sen ⁡ y

U = e x sen ⁡ y + g y  

Como toda integração indefinida gera uma constante arbitraria, temos que adicionar essa constante. E como y é nossa constante nessa integral parcial, então essa “constante” será (se existir) uma função que depende apenas de y, pois

d d x   g y = 0

Beleza ! Vamos integrar agora em relação a y

U y = e x cos ⁡ y

U = e x sen ⁡ y + C

Agora o que fazemos é comparar as duas integrais parciais.

U = e x sen ⁡ y + γ y  

U = e x sen ⁡ y

Logo se subtrairmos uma equação da outra, percebemos que

γ y = C

Sendo que como toda função potencial, podemos escolher onde fica o ponto zero de potencial. Logo o valor de C é indiferente e podemos arbitrar que

C =     0

E por fim, nossa função potencial é

U = e x sen ⁡ y

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

U = e x sen ⁡ y

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