Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.5 - Ex. 66

Mostre que

∑ n = 1 ∞ 2 n 2 n !

diverge. Lembre-se das leis dos expoentes que 2 ( n 2 ) = 2 n n .

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar o termo geral da nossa sequência, dado por:

a n = 2 n 2 n !

E o seu termo consecutivo:

a n + 1 = 2 n + 1 2 ( n + 1 ) !

Vamos aplicar o teste da razão para verificar a sua convergência, calculando o limite, definido por:

lim n →  ∞ ⁡ a n + 1 a n

Assim,

lim n →  ∞ ⁡ 2 n + 1 2 ( n + 1 ) ! 2 n 2 n ! = lim n →  ∞ ⁡ 2 n + 1 2 ( n + 1 ) ! ∙ n ! 2 n 2 =   lim n →  ∞ ⁡ 2 n 2 + 2 n + 1 ( n + 1 ) ∙ n ! ∙ n ! 2 n 2

lim n →  ∞ ⁡ 2 n 2 ∙ 2 2 n + 1 ( n + 1 ) ∙ n ! ∙ n ! 2 n 2 =   lim n →  ∞ ⁡ 2 2 n + 1 n + 1   =     lim n →  ∞ ⁡ 2 ∙ 4 n n + 1 =   ∞

Como a função do numerador é exponencial e a do denominador é linear, o numerador cresce infinitamente mais rápido, fazendo com que o limite tenda para infinito.

De acordo com o teste da razão, se o limite é maior que 1 a série diverge.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Diverge pelo teste da razão.

Exercícios de Livros Relacionados

Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.24. ∑ n = 1 ∞ 2 n n ! 5 ∙ 8 ∙ 11 ∙⋯∙ 3 n + 2
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.20. ∑ n = 1 ∞ 2 n ! n ! 2
Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.32. ∑ n = 1 ∞ 1 - n 2 + 3 n n
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.21. 1 - 2 ! 1 ∙ 3 + 3 ! 1 ∙ 3 ∙ 5 - 4 ! 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 + … + - 1 n - 1 n ! 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙⋯∙ 2 n - 1 + …
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.22. 2 3 + 2 ∙ 5 3 ∙ 5 + 2 ∙ 5 ∙ 8 3 ∙ 5 ∙ 7 + 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ 11 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 9 …