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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 88

Se ∑ n = 1 ∞ a n   e ∑ n = 1 ∞ b n   são séries divergentes de números não negativos, algo pode ser dito sobre ∑ n = 1 ∞ a n b n   ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Sejam ∑ n = 1 ∞ a n   e ∑ n = 1 ∞ b n   séries divergentes de números não negativos.

A série ∑ n = 1 ∞ a n b n   pode convergir ou divergir.

Por exemplo, para as séries ∑ n = 1 ∞ a n = ∑ n = 1 ∞ b n = ∑ n = 1 ∞ n   , ambas divergentes, a série ∑ n = 1 ∞ a n b n = ∑ n = 1 ∞ n 2   também diverge.

Agora, para as séries ∑ n = 1 ∞ a n = ∑ n = 1 ∞ b n = ∑ n = 1 ∞ 1 n   , ambas também divergentes, a série ∑ n = 1 ∞ a n b n = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2   converge, pois se trata de uma p-série com p = 2 > 1 .

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

A série ∑ n = 1 ∞ a n b n   pode convergir ou divergir.

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