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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.5 - Ex. 61

Quais das séries nos Exercícios 55-62 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ 1 ∙ 3 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) 4 n 2 n n !

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar o termo geral da nossa sequência, dado por:

a n = 1 ∙ 3 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) 4 n 2 n n !

E o seu termo consecutivo,

a n + 1 = 1 ∙ 3 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) ∙ ( 2 n + 1 ) 4 n + 1 2 n + 1 ( n + 1 ) !

Vamos aplicar o teste da razão para verificar a sua convergência, calculando o limite, definido por:

lim n →  ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n →  ∞ ⁡ 1 ∙ 3 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) ∙ ( 2 n + 1 ) 4 n + 1 2 n + 1 ( n + 1 ) ! ∙ 4 n 2 n n ! 1 ∙ 3 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 )

Simplificando os termos em comum, obtemos:

lim n →  ∞ ⁡ 2 n + 1 4 ∙ 2 ∙ ( n + 1 ) = lim n →  ∞ ⁡ 2 n + 1 8 n + 8

Aplicando a regra de L’Hospital, temos:

lim n →  ∞ ⁡ 2 n + 1 8 n + 8 =   lim n →  ∞ ⁡ 2 8 = 1 4

De acordo com o teste da razão, se o limite é menor que 1 a série converge.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Converge pelo teste da razão.

Exercícios de Livros Relacionados

Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.18. ∑ n = 1 ∞ n ! n n
Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. ∑ n = 2 ∞ - 1 n ln ⁡ n
Use o Teste da Raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.27. ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 ln ⁡ n n
Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. ∑ n = 2 ∞ n ln ⁡ n n
Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.36. ∑ n = 1 ∞ s e n n π 6 1 + n n