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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.5 - Ex. 65

Seja

a_n = {[[(n)/(2^n) , s e n é u m n ú m e r o p r i m o],[(1)/(2^n) , c a s o c o n t r á r i o]])

sum a_n converge? Justifique sua resposta.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar o termo geral da nossa sequência, dado por:

a_n = {[[(n)/(2^n) , s e n é u m n ú m e r o p r i m o],[(1)/(2^n) , c a s o c o n t r á r i o]])

Vamos aplicar o teste da raiz para verificar a sua convergência, calculando o limite, definido por:

underset(n -> oo)(lim) root(n)(|a_n|)

Assim,

root(n)(a_n) = {[[(n^((1)/(n)))/(2) , s e n é u m n ú m e r o p r i m o],[(1)/(2) , c a s o c o n t r á r i o]])

Quando n tende ao infinito (1)/(n) tende a zero, logo n^((1)/(n)) tende para 1. Então:

underset(n -> oo)(lim) (n^((1)/(n)))/(2) = underset(n -> oo)(lim) (1)/(2) = (1)/(2)

De acordo com o teste da raiz, se o limite é menor que 1 a série converge.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Converge pelo teste da raiz.

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Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ 10 n n + 1 4 2 n + 1
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ s e nn 2 n
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 5 n + 1
Use o Teste da Raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.26. ∑ n = 1 ∞- 2 n n n
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