Seja

a_n = {[[(n)/(2^n) , s e n é u m n ú m e r o p r i m o],[(1)/(2^n) , c a s o c o n t r á r i o]])

sum a_n converge? Justifique sua resposta.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar o termo geral da nossa sequência, dado por:

a_n = {[[(n)/(2^n) , s e n é u m n ú m e r o p r i m o],[(1)/(2^n) , c a s o c o n t r á r i o]])

Vamos aplicar o teste da raiz para verificar a sua convergência, calculando o limite, definido por:

underset(n -> oo)(lim) root(n)(|a_n|)

Assim,

root(n)(a_n) = {[[(n^((1)/(n)))/(2) , s e n é u m n ú m e r o p r i m o],[(1)/(2) , c a s o c o n t r á r i o]])

Quando n tende ao infinito (1)/(n) tende a zero, logo n^((1)/(n)) tende para 1. Então:

underset(n -> oo)(lim) (n^((1)/(n)))/(2) = underset(n -> oo)(lim) (1)/(2) = (1)/(2)

De acordo com o teste da raiz, se o limite é menor que 1 a série converge.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Converge pelo teste da raiz.

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