Seja

  a n =   n 2 n ,   s e   n   é   u m   n ú m e r o   p r i m o 1 2 n ,     c a s o   c o n t r á r i o                    

∑ a n converge? Justifique sua resposta.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar o termo geral da nossa sequência, dado por:

a n = n 2 n ,   s e   n   é   u m   n ú m e r o   p r i m o 1 2 n ,     c a s o   c o n t r á r i o                    

Vamos aplicar o teste da raiz para verificar a sua convergência, calculando o limite, definido por:

lim n →  ∞ ⁡ a n n

Assim,

a n n = n 1 n 2 ,   s e   n   é   u m   n ú m e r o   p r i m o 1 2 ,     c a s o   c o n t r á r i o                    

Quando n tende ao infinito 1 n tende a zero, logo n 1 n tende para 1. Então:

lim n →  ∞ ⁡ n 1 n 2 = lim n →  ∞ ⁡ 1 2 = 1 2

De acordo com o teste da raiz, se o limite é menor que 1 a série converge.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Converge pelo teste da raiz.

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