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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.5 - Ex. 62

Quais das séries nos Exercícios 55-62 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ 1 ∙ 3 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) [ 2 ∙ 4 ∙ … ∙ 2 n ] ( 3 n + 1 )

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar o termo geral da nossa sequência, dado por:

a n = 1 ∙ 3 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) [ 2 ∙ 4 ∙ … ∙ 2 n ] ( 3 n + 1 )

E o seu termo consecutivo,

a n + 1 = 1 ∙ 3 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) ∙ ( 2 n + 1 ) [ 2 ∙ 4 ∙ … ∙ 2 n ∙ ( 2 n + 2 ) ] ( 3 n + 1 + 1 )

Vamos aplicar o teste da razão para verificar a sua convergência, calculando o limite, definido por:

lim n →  ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n →  ∞ ⁡ 1 ∙ 3 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) ∙ ( 2 n + 1 ) [ 2 ∙ 4 ∙ … ∙ 2 n ∙ ( 2 n + 2 ) ] ( 3 n + 1 + 1 ) ∙ [ 2 ∙ 4 ∙ … ∙ 2 n ] ( 3 n + 1 ) 1 ∙ 3 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 )

Simplificando os termos em comum, obtemos:

lim n →  ∞ ⁡ ( 2 n + 1 ) ( 3 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) ( 3 n + 1 + 1 ) = lim n →  ∞ ⁡ ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) ∙ lim n →  ∞ ⁡ ( 3 n + 1 ) ( 3 n + 1 + 1 )

Aplicando a regra de L’Hospital, temos:

lim n →  ∞ ⁡ 2 2 ∙ l i m n →   ∞ 1 3 =   1 ∙ 1 3 = 1 3

De acordo com o teste da razão, se o limite é menor que 1 a série converge.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Converge pelo teste da razão.

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