Seja f(x) = tan(x) .

(a) Mostre que não há num intervalo (0, pi) um ponto c tal que f'(c) = 0 , embora f(0) = f(pi) = 0 .

(b) Explique por que o resultado de (a) não viola o Teorema de Rolle.

Passo 1

(a) Primeiro, vamos olhar para o gráfico de f x = t a n ⁡ ( x ) para termos uma ideia melhor do que está acontecendo nesse intervalo ( 0 , π ) :

Repare que quando x = π 2 , a tangente não existe, pois ela explode para o infinito. Isso é muito bem apresentado pelo gráfico acima. Então, por mais que f 0 = f π = 0 , conseguimos ver no gráfico que não tem um ponto sequer em que a derivada seja zero!

Passo 2

(b) Para que satisfaça o Teorema de Rolle, a função precisa ser contínua no intervalo fechado e derivável no intervalo aberto. Mas, como vimos no passo anterior, a função não é nem contínua nem derivável no intervalo, por conta desse salto em x = π 2 . Por isso, o resultado na letra anterior não viola o Teorema de Rolle.

Resposta

Explicações e demonstrações no passo a passo.

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