Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 15
- Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
- Encontre os valores de máximo e mínimo de .
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
,
Passo 1
Olá, meus doces, bora resolver essa juntinho comigo??
Simbora, moçadinhaaaaa
Para analisar a função no intervalo , vamos seguir os seguintes passos:
Determinar os intervalos nos quais é crescente ou decrescente:
- Encontrar a derivada primeira
- Analisar os sinais de
Encontrar os valores de máximo e mínimo de
- Encontrar os pontos críticos resolvendo
- Determinar a natureza desses pontos críticos usando o teste da segunda derivada ou o teste da primeira derivada.
Determinar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão:
- Encontrar a derivada segunda
- Analisar os sinais de
- Encontrar os pontos onde e determinar a mudança de concavidade.
Vamos começar com a derivada primeira de
Passo 2
Para encontrar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente, analisamos
A função tem um comportamento periódico, e precisamos determinar quando
e quando no intervalo .
Sabemos que:
- nos pontos e para ;
No intervalo
em
Passo 3
Vamos agora determinar os intervalos específicos de onde
Passo 4
Para encontrar os valores de máximo e mínimo, analisamos os pontos críticos onde :
Os pontos críticos no intervalo são:
Para determinar a natureza desses pontos, calculamos a segunda derivada:
Analisamos
- quando
- No intervalo em
Dividimos o intervalo de nos pontos e :
Passo 5
Separando as respostas ao longo da explicação
Intervalos de crescimento e decrescimento:
- Decrescente em:
- Crescente em:
Valores de máximo e mínimo:
- Máximos relativos em
- Mínimos relativos em
Intervalos de concavidade e pontos de inflexão:
- Côncavo para cima em:
- Côncavo para baixo em:
- Pontos de inflexão em:
Resposta
Vide o passo a passo.