Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação ao redor do eixo da região limitada pelas curvas dadas. Esboce a região e a casca típica.
,
Passo 1
Inicialmente, vamos encontrar as interseções:
Logo,
Assim,
Resolvendo, temos:
ou
Quando :
Quando :
Então vamos aplicar o método das cascas entre os pontos e . Esboçando o gráfico, temos:
Passo 2
Então o volume ficará o seguinte:
Como :
Logo,
E para função de baixo, temos:
Isto é,
Assim,
Repare que vamos usar o sinal positivo para o intervalo , pois o é positivo e o sinal negativo para o intervalo que é quando o fica negativa. Então vamos lá!
Passo 3
Arrumando as coisas:
Não esquece:quando
Integrando, temos o seguinte:
Simplificando,
Aplicando entre esses pontos e fazendo as contas: