Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 12
- Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
- Encontre os valores máximo e mínimo local de .
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
Oiee, vamos resolver mais uma?
Vamos detalhar o que o enunciado pede em cada etapa, usando a teoria de cálculo diferencial:
a) Encontrar os intervalos em que a função é crescente ou decrescente
Para determinar onde uma função é crescente ou decrescente, usamos a primeira derivada da função:
Primeira Derivada: Calculamos que representa a taxa de variação da função em relação a
Zerar a Primeira Derivada: Encontramos os pontos críticos, onde ou onde não está definida.
Teste de Sinal: Analisamos o sinal de em intervalos entre os pontos críticos para determinar onde a função é crescente ou decrescente
Passo 2
b) Encontrar os valores máximos ou mínimos locais
Para identificar os valores máximos e mínimos locais:
Primeira Derivada: Utilizamos os pontos críticos encontrados anteriormente.
Teste da Derivada: Usamos o teste da primeira derivada (ou da segunda derivada) para determinar a natureza dos pontos críticos:
- Primeira Derivada: Verificamos a mudança de sinal em
Se muda de positivo para negativo, temos um máximo local.
Se muda de negativo para positivo, temos um mínimo local.
- Segunda Derivada: Se necessário, usamos .
Se no ponto crítico, é um mínimo local.
Se é um máximo local.
Passo 3
c) Encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão
Para determinar a concavidade e os pontos de inflexão:
Segunda Derivada: Calculamos que nos dá a concavidade da função.
Zerar a Segunda Derivada: Encontramos os pontos onde ou onde não está definida.
Teste de Sinal: Analisamos o sinal de em intervalos entre os pontos críticos da segunda derivada para determinar a concavidade:
- Concavidade para Cima: indica que a função é côncava para cima.
- Concavidade para Baixo: indica que a função é côncava para baixo.
Pontos de Inflexão: Identificamos os pontos onde a concavidade muda, ou seja, onde muda de sinal.
Passo 4
Agora sim vamos resolver as letras
- Para achar os intervalos vamos calcular a primeira derivada, e analisar os sinais:
- Para ser um ponto de máximo ou mínimo local, o sinal de deve mudar nesse ponto. Vemos que em há mudança do sinal de , e como em o sinal muda de negativo para positivo, então ele é um ponto de mínimo local.
- Para achar os intervalos de concavidade devemos achar e analisar os sinal, aqui usaremos também a regra da cadeia:
Vamos usar as regras de derivação da função constante, da divisão e do polinômio:
Passo 5
Vamos agora aplicar:
O denominador é sempre positivo, então o sinal de vai ser determinado pelo numerador:
Passo 6
Para achar os valores é só substituir os valores em :
Passo 7
Vamos lá então:
O denominador é sempre positivo, então o sinal de vai ser determinado pelo numerador:
Para achar os pontos de inflexão devamos fazer :
e
Para garantir que é ponto de inflexão, devemos ver se existe:
Temos que o ponto de inflexão é .
Resposta
- Decrescente em e Crescente em
- é mínimo local
- Concavidade para baixo em e e para cima em e ponto de inflexão é