Encontre: (a) os intervalos nos quais f é crescente, (b) os intervalos nos quais f é decrescente, (c) os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos nos quais f é côncava para baixo, (e) as coordenadas x de todos os pontos de inflexão.

26. f(x) = x^(2/3) - x

Passo 1

Podemos responder sem grandes dificuldades todos os itens apenas analisando o gráfico:

Passo 2

(a)Aqui, pra determinarmos o ponto em que f começa a ser crescente, precisamos encontrar os pontos em que a derivada da função se anula (pontos de mínimo e de máximo).

A partir disso, visualizando o gáfico, determinamos os pontos iniciais dos intervalos em que a função cresce. Teremos:

f ' x = 2 3 x 3 - 1 ≡ 0

2 3 x 3 = 1

3 x 3 = 2

x 3 = 2 3

x = 2 3 3

Ao observar pelo gráfico então, a função passa a crescer em x = 0 , ponto de “bico”, até x = 2 3 3 , e depois volta a decrescer novamente até (+) infinito. É o intervalo:

0 ,   2 3 3

Passo 3

(b) f é decrescente desde (-) infinito até x = 0 , e torna a decrescer a partir de x = 2 3 3 até (+) infinito. O intervalo será:

- ∞ ,   0 ∪ ( 2 3 3 ,   + ∞ )

Passo 4

(c) f nunca é côncava pra cima. Não existem intervalos.

Passo 5

(d) f sempre tem concavidade voltada pra baixo. O intervalo é

- ∞ ,   + ∞

Passo 6

(e)Não há pontos de inflexão uma vez que a função tem sempre a mesma concavidade em todo seu domínio.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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