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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 19

19- Sejam f e g duas funções deriváveis em ] a ,   b [ , tais que f ´ ( x )   <   g ´ ( x )   ∀   x   e m   ] a ,   b [ . Suponha que existe c em ] a ,   b [ , com f ( c )   =   g ( c ) . Prove que f ( x )   <   g ( x ) para x   >   c e f ( x )   >   g ( x ) para x   <   c .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Vamos começar entendendo o enunciado!

Primeiramente, eles nos informa que a derivada de g x é maior que a de f x no intervalo ] a ,   b [ .

Depois ele diz que no mesmo intervalo tem um ponto c , onde as funções são iguais, ou seja, f ( c )   =   g ( c ) .

Agora vamos analisar as duas situações que ele propões.

Passo 2

Primeiramente, vamos considerar h ( x )   =   g ( x )   –   f ( x ) . Assim,

h ´ ( x )   =   g ´ ( x )   –   f ´ ( x )   >   0

Se x   >   c , existe a , c   <   a   <   x tal que

lim x → c ⁡ h x -   h c x - c = h ' a > 0

Logo, h x >   h ( c )   =   g ( c )   –   f ( c )   =   0 .

Com isso, g ( x )   –   f ( x )   =   h ( x )   >   0 ,   ∀   x   >   c .

Assim,

g ( x )   >   f   ( x )

Passo 3

Vamos para segunda situação!

Se x   <   c   existe a , x   <   a   <   c tal que

lim x → c ⁡ h x -   h c x - c = h ' a < 0

Logo, h ( x )   <   h ( c )   =   g ( c )   –   f ( c )   =   0 .

Com isso, g ( x )   –   f ( x )   =   h ( x )   <   0 ,   ∀   x   <   c .

Assim,

g ( x )   <   f   ( x )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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