Uma menina brinca em um escorregador na forma da curva y = 9 * e^(-x / 3) . Sua ordenada varia a uma taxa dy/dt = -1/4 ⋅ raiz(9 - y) pé = s/s . A que taxa aproximadamente sua abscissa variará quando ela atingir a parte inferior do escorregador em x = 9 pés? (Considere e^3 como 20 e arredonde sua resposta para um valor inteiro mais próximo em pés/s.)

Passo 1

Desejamos encontrar a variação da nossa abscissa ( x ) em relação ao tempo, ou seja, d x d t para quando x = 9 . Analisando nossa função podemos encontrar o valor de y para a situação dada substituindo o valor de x , assim

y = 9 e - 9 3 y = 9 e - 3 y = 9 e 3

Usando a aproximação dada e 3 ≈ 20 teremos

y = 9 20

Passo 2

Com os dados acima em mãos vamos derivar nossa função e, dessa forma, obteremos

y = 9 e - x 3

d y d t = 9 ⋅ - 1 3 ⋅ e - x 3 ⋅ d x d t  

Substituindo o valor de d y d t vamos ter

- 1 4 ⋅ 9 - y = 9 ⋅ - 1 3 ⋅ e - x 3   ⋅ d x d t

Tomando x = 9   e   y = 9 / 20 podemos substituir na nossa função

- 1 4 ⋅ 9 - 9 20 = ( - 3 )   ⋅ e - 9 3 ⋅ d x d t

- 1 4 ⋅ 9 ⋅ 1 - 1 20 = ( - 3 )   ⋅ e - 3 ⋅ d x d t

- 3 4 ⋅ 1 - 1 20 = - 3 ⋅ 1 e 3 ⋅ d x d t

1 4 ⋅ 1 - 1 20 = 1 20 ⋅ d x d t

1 4 ⋅ 20 20 - 1 20 = 1 20 ⋅ d x d t

1 4 ⋅ 19 20 = 1 20 ⋅ d x d t d x d t = 20 4 ⋅ 19 20 d x d t = 5 ⋅ 19 20

Adotando 19 20 ≈ 0.97 vamos ter

d x d t = 5 ⋅ 0.97

d x d t = 4.85   p é s / s

Aproximando para o inteiro mais próximo como pede o enunciado, vamos obter d x d t = 5   p é s s

Resposta

5   p é s s

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