18- Suponha f derivável no intervalo I. Prove: f crescente em I <=> f´(x) >= 0 em I

Passo 1

Galerisss, a primeira coisa é lembrar que nessa questão temos que justificar a ida ( ) e a volta ( ⇐ ) .

Então, vamos lá !

Passo 2

( )

Seja a I

f´(a) = l i m x → a f x -   f a x - a :

- Se x > a, f(x) f(a), logo f(x) – f(a) 0 e x – a > 0

Assim, f x -   f a x - a 0

- Se x   f(a), logo f x -   f a x - a 0

Com isso, f x -   f a x - a 0 para todo x I . Então f´(a) 0

Maxxx calma que a questão ainda não acabou, ainda temos que justificar o caminho de vota :)

Passo 3

( ⇐ )      

f´(x) 0, x I

Tomemos s, t I , com s

f t -   f s t - s     = f´(a) 0

Como t – s > 0, temos f(t) – f(s) 0. Logo, f(t) f(s).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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