Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.3 - Ex. 38
(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Passo 1
Faaaala meus queridos! Como vão vocês?
Nessa questão, temos a seguinte função:
E queremos encontrar os intervalos em que ela é crescente ou decrescente. Para isso vamos derivar a função e fazer um estudo de sinais da derivada, pois quando a derivada é positiva a função é crescente
E quando a derivada é negativa, a função é decrescente.
Depois disso vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo.
Para isso, vamos encontrar os pontos onde a derivada vale zero.
Esses são pontos críticos da nossa função.
Para verificar se eles são pontos de máximo ou mínimo vamos olhar para o comportamento da derivada ao redor deles.
Se a derivada é positiva antes do ponto crítico e negativa depois do ponto crítico, então esse é um ponto de máximo.
Se a derivada é negativa antes do ponto crítico e positiva depois dele, então esse é um ponto de mínimo.
E por fim vamos olhar para os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.Para isso, vamos encontrar a segunda derivada da nossa função e fazer um estudo de sinais dela.
Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade é para cima.
Quando a segunda derivada é negativa, a concavidade é para baixo.
E quando a segunda derivada é zero, temos um ponto de inflexão.
E por fim, vamos usar esses resultados e tentar traçar um gráfico da nossa função.
Bora lá?
Passo 2
Item a:
Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa. Portanto, para avaliar os intervalos onde é crescente ou decrescente, vamos obter a derivada e analisar o seu sinal:
Sua derivada portanto é, usando a regra da cadeia:
Estudando o sinal, temos a tabela:
Portanto, é decrescente para valores de no intervalo e crescente no intervalo .
Passo 3
Item b:
Os pontos onde a derivada é zero, pontos críticos são:
ou ou
Como decresce até e continua decrescendo a partir dele então não é mínimo nem máximo local.
Como cresce até e continua crescendo a partir dele então não é mínimo nem máximo local.
Como decresce até e cresce a partir dele, é ponto de mínimo local.
Passo 4
Item c:
A concavidade de uma função é indicada pelo sinal da derivada segunda. Quando a derivada segunda é positiva, a função possui concavidade voltada para cima e quando a derivada segunda é negativa, a função possui concavidade voltada para baixo. Então devemos obter a derivada segunda e estudar o seu sinal:
Derivando, usando a regra do produto e a regra da cadeia, temos:
Estudando o sinal de temos:
Portanto, possui concavidade para cima em valores de nos intervalos , e e concavidade para baixo para valores de no intervalo e . E os pontos de inflexão são e .
Passo 5
Com as informações obtidas traçamos o seguinte gráfico.
Resposta
(a) é decrescente para valores de no intervalo e crescente no intervalo .
(b) é ponto de mínimo local.
(c) possui concavidade para cima em valores de nos intervalos , e e concavidade para baixo para valores de no intervalo e . E os pontos de inflexão são e .
(d)
