Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.3 - Ex. 44
(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Passo 1
Faaala aí... bora pra mais essa?
Nessa questão, temos a seguinte função:
Que está definida no intervalo
E queremos encontrar os intervalos em que ela é crescente ou decrescente. Para isso vamos derivar a função e fazer um estudo de sinais da derivada, pois quando a derivada é positiva a função é crescente
E quando a derivada é negativa, a função é decrescente.
Depois disso vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo.
Para isso, vamos encontrar os pontos onde a derivada vale zero.
Esses são pontos críticos da nossa função.
Para verificar se eles são pontos de máximo ou mínimo vamos olhar para o comportamento da derivada ao redor deles.
Se a derivada é positiva antes do ponto crítico e negativa depois do ponto crítico, então esse é um ponto de máximo.
Se a derivada é negativa antes do ponto crítico e positiva depois dele, então esse é um ponto de mínimo.
E por fim vamos olhar para os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.Para isso, vamos encontrar a segunda derivada da nossa função e fazer um estudo de sinais dela.
Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade é para cima.
Quando a segunda derivada é negativa, a concavidade é para baixo.
E quando a segunda derivada é zero, temos um ponto de inflexão.
E por fim, vamos usar esses resultados e tentar traçar um gráfico da nossa função.
Bora lá?
Passo 2
Item a:
Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa. Portanto, para avaliar os intervalos onde é crescente ou decrescente, vamos obter a derivada e analisar o seu sinal:
Derivando
Fazendo então:
Ou então,
Dessa forma, derivada é sempre positiva, afinal a função seno sempre é menor ou igual a .
Ela só não é positiva nos pontos em que o seno vale exatamente .
Então, em , e e não existe em seu domínio.
Portanto, é crescente em todo seu domínio.
Passo 3
Como é crescente em todo seu domínio, não possui máximos ou mínimos locais além das extremidades (valor mínimo) e (valor máximo).
Passo 4
A concavidade de uma função é indicada pelo sinal da derivada segunda. Quando a derivada segunda é positiva, a função possui concavidade voltada para cima e quando a derivada segunda é negativa, a função possui concavidade voltada para baixo. Então devemos obter a derivada segunda e estudar o seu sinal:
Derivando, temos:
Então, analisando o sinal da função temos:
Ou seja, a segunda derivada é positiva, quando o cosseno é positivo, logo:
em e
E ela será negativa, quando o cosseno é negativo, logo:
em , e
Portanto, possui concavidade para cima nos intervalos e e concavidadepara baixo nos intervalos , e .
Para os pontos de inflexão, esses serão aqueles em que o cosseno é exatamente igual a zero, ou seja:
Os pontos de inflexão são , , e .
Passo 5
Item d:
Com as informações obtidas, temos uma função que é sempre crescente, que possui concavidade para baixo até , concavidade para cima até , então concavidade para baixo até , concavidade para cima até e então possui concavidade para baixo.
Usando um software, obtemos o seguinte gráfico.
Resposta
(a) é crescente em todo seu domínio.
(b) (valor mínimo) e (valor máximo).
(c) possui concavidade para cima nos intervalos e e concavidade para baixo nos intervalos , e .
E os pontos de inflexão são , , e .
(d)
