Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.5 - Ex. 27
Explique, usando os teoremas 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio.
Passo 1
Opa, bora lá! O enunciado nos dá uma função e já diz que ela é contínua em todo o seu domínio:
Só que a gente tem que usar os teoremos 4, 5, 7 e 9 pra explicar porque que ela é continua! Além disso precisamos dizer que domínio é esse.
Vamos lá, revisando:
- O teorema 4 afirma que a soma, subtração, produto e quociente de funções contínuas é uma função contínua.
- O teorema 5 diz que todos os polinômios e funções racionais (quociente de polinômios) são funções contínuas em seus domínios.
- O teorema 7 afirma que todas as funções raízes, trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciais e logarítmicas são contínuas em seus domínios.
- Já o teorema 9 afirma que a composta de funções contínuas é contínua.
Temos uma função trigonométrica e o seu argumento é um exponencial que é raiz! Mas calma, a gente vai analisar essa função devagarinho no próximo passo!
Ahhh, uma função contínua é aquela cujo gráfico pode ser desenhado sem levantar a caneta do papel!
Passo 2
Aqui a gente tem uma função logarítmica com um argumento polinomial, que é o . Pro log existir ele tem que ter um argumento maior que zero, então:
Podemos fatorar a expressão:
Assim, as raízes reais de são e . O quadro se sinal para essa expressão é:
Como estamos interessados nos pontos em que , as soluções da inequação são os intervalos e . Assim, o domínio de é
Passo 3
Pelos teoremas 5 e 7, as funções e são contínuas em seus domínios. E aqui temos:
Reparou que ela é uma função composta?! Pelo teorema 9 ela é uma função contínua em seu domínio!
Resposta
Demonstração e.