Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 9
Encontre: (a) os intervalos onde é crescente, (b) os intervalos onde é decrescente, (c) os intervalos abertos onde é côncava para cima, (d) os intervalos abertos onde é côncava para baixo e (e) as coordenadas de de todos os pontos de inflexão. Se:
Passo 1
O primeiro passo que precisamos saber, para determinar a derivada da função:
Essa função zera quando :
- A função é crescente quando a primeira derivada é positiva, quando :
- A função é decrescente quando a primeira derivada é negativa, quando:
- Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade é para cima . Acontece que a nossa segunda derivada é formada por uma função composta, que possui termos quadráticos que impedem que a função seja negativa quando o valor é maior que a raiz da função. Isso significa que terá concavidade para cima em todo o intervalo e
- Entretanto, qualquer valor que esteja entre a raiz negativa e a raiz positiva irá fazer com que a segunda derivada seja negativa e a concavidade para baixo em
- O ponto de inflexão é nas raízes onde a segunda derivada é nula, em.
Como a nossa primeira função derivada é negativa, para ter valores positivos precisamos inserir valores negativos na fórmula, tornando-se positivos por consequência. Isso acontece quando estamos no intervalo de menos infinito até a raiz .
Dentro desse intervalo, a função está sempre crescendo.
E quando isso acontece? A derivada sempre será negativa se inserirmos um valor postivo na função, isso ocorre da raiz até o infinito:.
Dentro desse intervalo, a função está sempre decrescendo.
Passo 2
Para os próximos passos vamos calcular a segunda derivada.
Essa função zera quando:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)