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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.9 - Ex. 4

Encontre o Jacobiano da transformação.

x = p e q ,     y = q e p

Passo 1

Vamos lá meus amigos, temos que encontrar o Jacobiano da seguinte transformação

x = p e q ,     y = q e p

Vamos nos recordar o que é o Jacobiano e para que ele serve? O Jacobiano é o determinante de uma matriz Jacobiana (Ah tá! Mas e o que é a tal matriz Jacobiana?).

Simples, é uma matriz com as derivadas parciais de uma função em relação às suas derivadas. Isso é muito utilizado para alterar as variáveis de uma integral múltipla. Veja:

∂ x , y ∂ u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Ou seja, primeiro iremos realizar a derivada parcial de x e y em relação a u e v e depois montar a matriz para calcular o determinante.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais para montar a matriz Jacobiana.

Temos que:

x = p e q ,     y = q e p

Os termos das derivadas parciais são:

∂ x ∂ p = ∂ ( p e q ) ∂ p = e q  

∂ x ∂ q = ∂ p e q ∂ q = p e q

∂ y ∂ p = ∂ q e p ∂ p = q e p

∂ y ∂ q = ∂ ( q e p ) ∂ q = e p

Temos que o Jacobiano da transformação é dado pelo determinante da matriz:

∂ x , y ∂ p , q = ∂ x ∂ p ∂ x ∂ q ∂ y ∂ p ∂ y ∂ q = e q p e q q e p e p = e p e q - p e q q e p

= e p + q - p q e p + q = e p + q ( 1 - p q )

Resposta

∂ x , y ∂ p , q = e p + q ( 1 - p q )

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