Encontre o Jacobiano da transformação.

x = cos t, y = sen t

Passo 1

Vamos lá meus amigos, temos que encontrar o Jacobiano da seguinte transformação

x = s   c o s   t ,     y = s   s e n   t

Vamos nos recordar o que é o Jacobiano e para que ele serve? O Jacobiano é o determinante de uma matriz Jacobiana (Ah tá! Mas e o que é a tal matriz Jacobiana?).

Simples, é uma matriz com as derivadas parciais de uma função em relação às suas derivadas. Isso é muito utilizado para alterar as variáveis de uma integral múltipla. Veja:

∂ x , y ∂ u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Ou seja, primeiro iremos realizar a derivada parcial de x e y em relação a u e v e depois montar a matriz para calcular o determinante.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais para montar a matriz Jacobiana.

Temos que:

x = s cos ⁡ t ,     y = s   s e n   t

Os termos das derivadas parciais são:

∂ x ∂ s = ∂ ( s cos ⁡ t ) ∂ s = cos ⁡ t  

∂ x ∂ t = ∂ s cos ⁡ t ∂ t = - s   s e n   t

∂ y ∂ s = ∂ s   s e n   t ∂ s = s e n   t

∂ y ∂ t = ∂ ( s   s e n   t ) ∂ t = s cos ⁡ t

Temos que o Jacobiano da transformação é dado pelo cálculo do determinante:

∂ x , y ∂ s , t = ∂ x ∂ s ∂ x ∂ t ∂ y ∂ s ∂ y ∂ t = cos ⁡ t - s   s e n   t s e n   t s cos ⁡ t = s cos ⁡ t cos ⁡ t - - s   s e n   t s e n   t

= s cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = s

Resposta

∂ x , y ∂ s , t = s

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