Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.9 - Ex. 3

Encontre o Jacobiano da transformação.

Passo 1

Vamos lá meus amigos, temos que encontrar o Jacobiano da seguinte transformação

Vamos nos recordar o que é o Jacobiano e para que ele serve? O Jacobiano é o determinante de uma matriz Jacobiana (Ah tá! Mas e o que é a tal matriz Jacobiana?).

Simples, é uma matriz com as derivadas parciais de uma função em relação às suas derivadas. Isso é muito utilizado para alterar as variáveis de uma integral múltipla. Veja:

Ou seja, primeiro iremos realizar a derivada parcial de e em relação a e e depois montar a matriz para calcular o determinante.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais para montar a matriz Jacobiana.

Temos que:

Os termos das derivadas parciais são:

Temos que o Jacobiano da transformação é dado pelo cálculo do determinante:

Resposta

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Determine o jacobiano da transformação.x = e^(u - v) , y = e^(u + v) , z = e^(u + v + w)

Calcular ∭_T^() ( sqrt(x^2 + y^2) ) d V , onde T é a região limitada por z = x^2 + y^2 - 4 e z = 4 - x^2 - y^2 .

Calcular ∭_T^() ( x^2 + y^2 + z^2 ) . d V , onde T é a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9 e exterior ao cone z = sqrt(x^2 + y^2)

Calcular ∭ T x . d V , onde T é a região interior às superfícies z = 1 4 ( x 2 + y 2 ) e x 2 + y 2 + z 2 = 5 .

Calcular ∭ T y . d V , onde T é a região interior às superfícies z = 1 4 ( x 2 + y 2 ) e x 2 + y 2 + z 2 = 5 .