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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.9 - Ex. 6

Encontre o Jacobiano da transformação.

x = u + v w ,     y = v + w u ,     z = w + u v

Passo 1

Vamos lá meus amigos, temos que encontrar o Jacobiano da seguinte transformação

x = u + v w ,     y = v + w u ,     z = w + u v

Vamos nos recordar o que é o Jacobiano e para que ele serve? O Jacobiano é o determinante de uma matriz Jacobiana (Ah tá! Mas e o que é a tal matriz Jacobiana?).

Simples, é uma matriz com as derivadas parciais de uma função em relação às suas coordenadas. Isso é muito utilizado para alterar as variáveis de uma integral múltipla. Veja:

∂ x , y , z ∂ u , v , w = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w

Ou seja, primeiro iremos realizar a derivada parcial de x e y e z em relação a u e v e   w . Depois montar a matriz para calcular o determinante.

Passo 2

Primeiramente precisamos calcular as derivadas parciais:

∂ x ∂ u = ∂ u + v w ∂ u = 1

∂ x ∂ v = ∂ u + v w ∂ v = w

∂ x ∂ w = ∂ u + v w ∂ w = v

∂ y ∂ u = ∂ ( v + w u ) ∂ u = w

∂ y ∂ v = ∂ v + w u ∂ v = 1

∂ y ∂ w = ∂ v + w u ∂ w = u

∂ z ∂ u = ∂ w + u v ∂ u = v

∂ z ∂ v = ∂ w + u v ∂ v = u

∂ z ∂ w = ∂ w + u v ∂ w = 1

∂ x , y , z ∂ u , v , w = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w = 1 w v w 1 u v u 1

= 1 w u v + w u v - ( v 2 + u 2 + w 2 ) =   2 w u v -   v ² - u ² -   w ²  

Resposta

∂ x , y , z ∂ u , v , w =   2 w u v -   v ² - u ² -   w ²

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