Encontre o Jacobiano da transformação.

x = 2u + v, y = 4u - v

Passo 1

Vamos lá pessoal, nesse exercício iremos analisar as equações:

x = 2 u + v ,     y = 4 u - v

E após isso iremos calcular o Jacobiano da transformação.

O Jacobiano é uma ferramenta que permite mudarmos as variáveis de uma integral, e é calculado da seguinte forma:

∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Ou seja, primeiro iremos realizar a derivada parcial de x e y em relação a u e v e depois montar a matriz para calcular o determinante.

Passo 2

Temos que o Jacobiano da transformação é dado por:

∂ x ∂ u = ∂ 2 u + v ∂ u = 2  

∂ x ∂ v = ∂ 2 u + v ∂ v = 1

∂ y ∂ u = ∂ 4 u - v ∂ u = 4

∂ x ∂ v = ∂ ( 2 u + v ) ∂ v = - 1

∂ x , y ∂ u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v = 2 1 4 - 1

Calculando o determinante:

2 - 1 - 1 4 = - 6

Resposta

∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = - 6

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