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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.9 - Ex. 2

Encontre o Jacobiano da transformação.

x = u 2 + u v ,     y = u v 2

Passo 1

Vamos lá pessoal, nesse exercício iremos analisar as equações:

x = u 2 + u v ,     y = u v 2

E após isso iremos calcular o Jacobiano da transformação.

O Jacobiano é uma ferramenta que permite mudarmos as variáveis de uma integral, e é calculado da seguinte forma:

∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Ou seja, primeiro iremos realizar a derivada parcial de x e y em relação a u e v e depois montar a matriz para calcular o determinante.

Passo 2

Primeiro temos que fazer as derivadas parciais:

∂ x ∂ u = ∂ u 2 + u v ∂ u

Derivando em relação a u e mantendo v como constante. Temos:

2 u + v

Vamos derivar em relação a v .

∂ x ∂ v = ∂ u 2 + u v ∂ v

Derivando em relação a v e mantendo u como constante. Temos:

u

Fazendo a derivada de y   em relação a v :

∂ y ∂ v = ∂ u v 2 ∂ v

Derivando em relação a v e mantendo u como constante. Temos:

2 v

Derivando y em relação a u :

∂ y ∂ u = ∂ u v 2 ∂ u = v 2

Temos que o Jacobiano da transformação é dado por:

∂ x , y ∂ u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v = 2 u + v u v 2 2 u v

Fazendo o determinante da matriz:

= 2 u + v 2 u v - u v 2 = 4 u 2 v + u v 2

Resposta

∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = 4 u 2 v + u v 2

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