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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.6 - Ex. 52

52. Encontre underset(x -> 2)(lim) (cos ((pi)/(x)))/(x - 2) . [ S u g e s t ã o : Seja t = (pi)/(2) - (pi)/(x) .]

Passo 1

Que tal nós começarmos seguindo aquela sugestão do enunciado, humm?

Fazendo t = (pi)/(2) - (pi)/(x) , temos que t -> 0 quando x -> 2 . Além disso,

- t + (pi)/(2) = (pi)/(x)

Logo,

(pi)/(x) = (pi - 2 t)/(2)

x = (2 pi)/(pi - 2 t)

Passo 2

Agora, vamos substituir as informações obtidas no nosso limite.

underset(x -> 2)(lim) (cos ((pi)/(x)))/(x - 2) = underset(t -> 0)(lim) (cos (- t + (pi)/(2)))/((2 pi)/(pi - 2 t) - 2)

underset(t -> 0)(lim) (cos (- t + (pi)/(2)))/((4 t)/(pi - 2 t))

underset(t -> 0)(lim (pi - 2 t)/(4)) (cos (- t + (pi)/(2)))/(t)

Galera, o que a gente vai fazer neste exato momento é usar aquela fórmula do cosseno da soma de dois ângulos. Assim, olha....

cos (- t + (pi)/(2)) = cos (t) cos ((pi)/(2)) + s e n (t) s e n ((pi)/(2)) =

= s e n (t)

Passo 3

Calculando o nosso limite, após a substituição,teremos:

underset(t -> 0)(lim (pi - 2 t)/(4)) (s e n t)/(t)

underset(t -> 0)(lim (pi - 2 t)/(4)) underset(t -> 0)(lim) (s e n t)/(t) = (pi)/(4)

Resposta

(pi)/(4)

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Prove que f é continua em c se, e somente se, underset(h - 0)(lim) f (c + h) = f (c) .
Suponha que um função f seja contínua no intervalo fechado [0,1] e que 0 ≤ f x ≤ 1 para qualquer x em [0,1]. Mostre que deve existir um numero c em [0,1], de modo que f c = c . (c é chamado de ponto f
Se as funçõesf ( x ) e g ( x ) são contínuas para 0 ≤ x ≤ 1 , f x g x poderia ser descontínua em um ponto de [ 0 ,1 ] ? Justifique sua resposta.
Use o exercício 69 juntamente com as identidades s e n h + c = s e nh cos ⁡ c + cos ⁡ hs e nc ; c o s h + c = c o sh cos ⁡ c - s e nhs e nc ; Para provar que tanto f ( x ) = s e n ( x ) e g x = c o s
Dê um exemplo de funções f eg , ambas contínuas em x=0, para as quais a composta f o g seja descontínua em x = 0 . Isso contradiz o Teorema 9 (Se f é contínua em c e g é contínua em f(c), então a comp