52. Encontre underset(x -> 2)(lim) (cos ((pi)/(x)))/(x - 2) . [ S u g e s t ã o : Seja t = (pi)/(2) - (pi)/(x) .]

Passo 1

Que tal nós começarmos seguindo aquela sugestão do enunciado, humm?

Fazendo t = (pi)/(2) - (pi)/(x) , temos que t -> 0 quando x -> 2 . Além disso,

- t + (pi)/(2) = (pi)/(x)

Logo,

(pi)/(x) = (pi - 2 t)/(2)

x = (2 pi)/(pi - 2 t)

Passo 2

Agora, vamos substituir as informações obtidas no nosso limite.

underset(x -> 2)(lim) (cos ((pi)/(x)))/(x - 2) = underset(t -> 0)(lim) (cos (- t + (pi)/(2)))/((2 pi)/(pi - 2 t) - 2)

underset(t -> 0)(lim) (cos (- t + (pi)/(2)))/((4 t)/(pi - 2 t))

underset(t -> 0)(lim (pi - 2 t)/(4)) (cos (- t + (pi)/(2)))/(t)

Galera, o que a gente vai fazer neste exato momento é usar aquela fórmula do cosseno da soma de dois ângulos. Assim, olha....

cos (- t + (pi)/(2)) = cos (t) cos ((pi)/(2)) + s e n (t) s e n ((pi)/(2)) =

= s e n (t)

Passo 3

Calculando o nosso limite, após a substituição,teremos:

underset(t -> 0)(lim (pi - 2 t)/(4)) (s e n t)/(t)

underset(t -> 0)(lim (pi - 2 t)/(4)) underset(t -> 0)(lim) (s e n t)/(t) = (pi)/(4)

Resposta

(pi)/(4)

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