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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.6 - Ex. 20

Encontre o limite ou demonstra que não existe.

underset(t -> oo)(lim) (t - t sqrt(t))/(2 t^(3 // 2) + 3 t - 5)

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! Temos que calcular o seguinte limite:

underset(t -> oo)(lim) (t - t sqrt(t))/(2 t^(3 // 2) + 3 t - 5)

Ou então, provar que ele não existe!

Se aplicamos diretamente oo em t , chegamos à indeterminação (oo)/(oo) . Precisamos então manipular nossa função e fugir da indeterminação!

Passo 2

Nossa função é:

(t - t sqrt(t))/(2 t^(3 // 2) + 3 t - 5) = (t - t^(3 // 2))/(2 t^(3 // 2) + 3 t - 5)

Tem uma tática muito legal pra usar quando estamos tendendo pro infinito que é manipular a fórmula pra que a variável fique no denominador, isso porque:

underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x) = 0

Imagina dividir (1)/(100000000000000) o resultado disso é beeem próximo de zero e quanto mais a gente aumenta o denominador, mais próximos estamos de zero! Sacou?!

Para isso vamos olhar pro denominador da nossa função e procurar a variável de maior grau, aqui é t^(3 // 2) . Agora vamos dividir todo mundo por t^(3 // 2) :

((t)/(t^((3)/(2))) - (t^((3)/(2)))/(t^((3)/(2))))/((2 t^((3)/(2)))/(t^((3)/(2))) + (3 t)/(t^((3)/(2))) - (5)/(t^((3)/(2)))) = ((1)/(t^((1)/(2))) - 1)/(2 + (3)/(t^((1)/(2))) - (5)/(t^((3)/(2))))

Passo 3

Agora é só aplicar oo e testar se chegamos a algum resultado numérico. Vamos ter:

underset(t -> oo)(lim) ((1)/(t^((1)/(2))) - 1)/(2 + (3)/(t^((1)/(2))) - (5)/(t^((3)/(2)))) = ((1)/(oo^((1)/(2))) - 1)/(2 + (3)/(oo^((1)/(2))) - (5)/(oo^((3)/(2))))

Lembra que uma divisão por oo tende a zero. Assim, temos:

((1)/(oo^((1)/(2))) - 1)/(2 + (3)/(oo^((1)/(2))) - (5)/(oo^((3)/(2)))) = (0 - 1)/(2 + 0 - 0) = - (1)/(2)

Logo:

underset(t -> oo)(lim) (t - t sqrt(t))/(2 t^(3 // 2) + 3 t - 5) = - (1)/(2)

Resposta

underset(t -> oo)(lim) (t - t sqrt(t))/(2 t^(3 // 2) + 3 t - 5) = - (1)/(2)

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Encontre as assíntotas horizontais e verticaisy = (2 e^x)/(e^x - 5)