Encontre o limite ou demonstra que não existe.

lim t → ∞ ⁡ t - t t 2 t 3 / 2 + 3 t - 5

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! Temos que calcular o seguinte limite:

lim t → ∞ ⁡ t - t t 2 t 3 / 2 + 3 t - 5

Ou então, provar que ele não existe!

Se aplicamos diretamente em t , chegamos à indeterminação ∞ ∞ . Precisamos então manipular nossa função e fugir da indeterminação!

Passo 2

Nossa função é:

t - t t 2 t 3 / 2 + 3 t - 5 = t - t 3 / 2 2 t 3 / 2 + 3 t - 5

Tem uma tática muito legal pra usar quando estamos tendendo pro infinito que é manipular a fórmula pra que a variável fique no denominador, isso porque:

l i m x → ∞ 1 x = 0

Imagina dividir 1 100000000000000 o resultado disso é beeem próximo de zero e quanto mais a gente aumenta o denominador, mais próximos estamos de zero! Sacou?!

Para isso vamos olhar pro denominador da nossa função e procurar a variável de maior grau, aqui é t 3 / 2 . Agora vamos dividir todo mundo por t 3 / 2 :

t t 3 2   - t 3 2 t 3 2 2 t 3 2 t 3 2 + 3 t t 3 2 - 5 t 3 2 = 1 t 1 2 - 1 2 + 3 t 1 2 - 5 t 3 2

Passo 3

Agora é só aplicar e testar se chegamos a algum resultado numérico. Vamos ter:

lim t → ∞ ⁡ 1 t 1 2 - 1 2 + 3 t 1 2 - 5 t 3 2 = 1 ∞ 1 2 - 1 2 + 3 ∞ 1 2 - 5 ∞ 3 2

Lembra que uma divisão por tende a zero. Assim, temos:

1 ∞ 1 2 - 1 2 + 3 ∞ 1 2 - 5 ∞ 3 2 = 0 - 1 2 + 0 - 0 = - 1 2

Logo:

lim t → ∞ ⁡ t - t t 2 t 3 / 2 + 3 t - 5 = - 1 2

Resposta

lim t → ∞ ⁡ t - t t 2 t 3 / 2 + 3 t - 5 = - 1 2

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