Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.5 - Ex. 54
54. Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado.
Passo 1
Opa, vamos resolver essa questão! O enunciado nos deu a seguinte expressão:
E pediu pra a gente usar o Teorema do Valor Intermediário pra provarmos que existe um no intervalo . Antes de qualquer coisa precisamos reescrever a nossa expressão:
O teorema do valor intermediário diz que se for contínua em um intervalo e considerando um como um número qualquer entre e , em que . Então existirá um número dentro do intervalo tal que .
Vou traduzir trazendo pro nosso problema! Lembra que a gente quer , certo?!
Vamos considerar que esteja entre e , então pelo teorema do valor intermediário o é nosso , e se for contínua no intervalo teremos um valor onde
Mas antes de qualquer coisa precisamos calcular e !
Passo 2
Para :
Para :
Opaaa, promissor! Afinal o zero está entre e . Só falta uma coisinha!
Passo 3
é contínua no intervalo ?!
Pra isso a gente vai consultar o teorema 7, que diz que:
Os seguintes tipos de funções são contínuas para todo o número de seus domínios:
- Polinômios
- Funções racionais
- Funções raízes
- Funções trigonométricas
- Funções exponenciais
- Funções trigonométricas inversas
- Funções logarítmicas
Temos uma função trigonométrica, como é contínua em todos os números reais, podemos concluir que sim! Existe uma raiz pra nossa função dentro do intervalo !
Passo 4
Nesse caso, nós temos que a função é a soma de uma função trigonométrica com uma função algébrica. Logo, usando o teorema 4, se duas funções e forem contínuas em e se for umas constante, então a seguinte função também é contínua em :
Resposta
Como , e é contínua em todo os números reais. Pelo Teorema do Valor Intermediário existirá uma raiz no intervalo