Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.6 - Ex. 58
Encontre uma formula para uma função que tenha por assíntotas verticais e por assíntota horizontal .
Passo 1
Olá, meu amigo. Aqui somos convidados a encontrar a função que tenha as assíntotas verticais:
e horizontais pedidas:
Para encontrarmos assíntotas temos as etapas:
Encontrar as assíntotas de uma função envolve diferentes métodos, dependendo do tipo de assíntota (vertical, horizontal ou oblíqua). Aqui estão algumas diretrizes gerais para encontrar assíntotas:
1. Assíntotas Verticais:
Passos:
Encontre os valores de que tornam o denominador igual a zero.
Cada valor de encontrado no passo anterior representa uma possível assíntota vertical.
2. Assíntotas Horizontais:
Passos:
Verifique os limites da função à medida que se aproxima de infinito positivo e negativo.
Se ambos os limites são finitos e diferentes de zero, não há assíntotas horizontais.
Se um ou ambos os limites são infinitos, você pode ter uma assíntota horizontal.
Se os graus dos termos de maior ordem no numerador e no denominador são iguais, a função pode ter uma assíntota horizontal.
Como as assíntotas horizontais são as raízes do polinômio no denominador, podemos escrever como sendo, , onde .
Passo 2
Ficamos então com:
Se expandirmos o denominador, ficamos com, , daí, escrevemos
Passo 3
Agora, como já descobrimos o denominador, necessitamos descobrir o numerador, o procedimento que faríamos para encontrar o limite quando seria dividir em cima e em baixo pelo denominador de maior expoente, como o denominador de maior expoente é , dividiríamos em cima e em baixo por , mas nosso resultado precisa ser igual a , pois esta é a condição que o problema nos dá, então para isso ser possível, o numerador só pode ser
Pois ao dividirmos pelo denominador de maior expoente, ficaríamos no final com uma fração do tipo , ou seja, satisfazendo a condição inicial.
Passo 4
Portanto, agora podemos escrever
Pra dar uma conferiada, vamos plotar o gráfico com a ajuda de alguma ferramenta e também plotar as assíntotas:
Na figura, temos a função em verde, a assíntotal horizontal em azul e as verticais em vermelho, e , em laranja.
E ta certinho, né!?