Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

lim ( x , y ) → ( 2 , - 1 ) ⁡ x 2 y + x y 2 x 2 - y 2

Passo 1

E aí, galera. Tudo certo? Vamos resolver mais uma questão.

Aqui nós queremos calcular o limite da função

f x , y = x 2 y + x y 2 x 2 - y 2

quando x , y → ( 2 , - 1 ) .

Se ele existir, calcularemos. Do contrário, vamos mostrar que não existe.

Beleza? Então vamos lá...

Passo 2

Dada a função

f x , y = x 2 y + x y 2 x 2 - y 2

O numerador e o denomidador são funções polinominais, portante é uma função continua.

A função f   é racional e continua, exceto quando x 2 - y 2 = 0 , isto é, quando x , y = ( 0,0 ) .

No entorno de x , y = ( 2 , - 1 ) , temos que:

lim ( x , y ) → ( 2 , - 1 ) ⁡ x 2 y + x y 2 x 2 - y 2 = lim ( x , y ) → ( 2 , - 1 ) ⁡ 2 2 ( - 1 ) + 2 ⋅ ( - 1 ) 2 2 2 - ( - 1 ) 2 =

lim ( x , y ) → ( 2 , - 1 ) ⁡ x 2 y + x y 2 x 2 - y 2 = lim ( x , y ) → ( 2 , - 1 ) ⁡ - 2 3

lim ( x , y ) → ( 2 , - 1 ) ⁡ x 2 y + x y 2 x 2 - y 2 = - 2 3

Portanto, o limite é -2/3.

Resposta

lim ( x , y ) → ( 2 , - 1 ) ⁡ x 2 y + x y 2 x 2 - y 2 = - 2 3

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