Encontre os limite:

lim x → 0 ⁡ 3 x - tg ⁡ 7 x 2 x

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é subsitutir o valor de x no limite:

lim x → 0 ⁡ 3 x - tg ⁡ 7 x 2 x = 3.0 - tg ⁡ 0 2 . 0 = 0 0

Opa, deu indeterminação. Como temos um seno ali no meio com x indo para 0 , vamos tentar fazer uma manipulação algébrica para chear no limite fundamental trigonométrico:

Lembrando que o limite fundamental trigonométrico é:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

Vamos começar separando a fração:

3 x - tg ⁡ 7 x 2 x = 3 x 2 x - tg ⁡ 7 x 2 x = 3 2 - tg ⁡ 7 x 2 x

Agora, vamos escrever:

tg ⁡ 7 x = sen ⁡ 7 x cos ⁡ 7 x

Para fazer o seno aparecer:

3 2 - tg ⁡ 7 x 2 x = 3 2 - sen ⁡ 7 x 2 x cos ⁡ 7 x

Separando o sem ⁡ 7 x x

3 2 - 1 2 cos ⁡ 7 x sen ⁡ 7 x x

Mas calma, o nosso limite fundamental trigonométrico so funciona se o termo dentro do seno for igual ao termo no denominador. Aqui temos 7 x e x , não são iguais.

Precisamos fazer:

3 2 - 1 2 cos ⁡ 7 x sen ⁡ 7 x x . 7 7 = 3 2 - 7 2 cos ⁡ 7 x sen ⁡ 7 x 7 x

Blz? Basicamente multiplicamos o numerador e o denominador por 7 , para nçao mudar a fração e aparecer o nosso amiguinho.

Terminamos com:

3 2 - 7 2 cos ⁡ 7 x sen ⁡ 7 x 7 x

Passo 2

Voltando com aquela expressão para o limite:

lim x → 0 ⁡ 3 x - tg ⁡ 7 x 2 x = lim x → 0 ⁡ 3 2 - 7 2 cos ⁡ 7 x sen ⁡ 7 x 7 x

Pelas prórpriedades de limites, podemos fazer:

lim x → 0 ⁡ 3 2 - 7 2 cos ⁡ 7 x sen ⁡ 7 x 7 x = lim x → 0 ⁡ 3 2 - lim x → 0 ⁡ 7 2 cos ⁡ 7 x ∙ lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 7 x 7 x

Assim, vamos acaba com:

lim x → 0 ⁡ 3 x - tg ⁡ 7 x 2 x = lim x → 0 ⁡ 3 2 - lim x → 0 ⁡ 7 2 cos ⁡ 7 x ∙ lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 7 x 7 x = 3 2 - 7 2 cos ⁡ 0 ∙ 1 = 3 2 - 7 2 = - 4 2 = - 2

Resposta

- 2

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