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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.4 - Ex. 38

Determine o limite a seguir

underset(theta -> 0)(lim) s e n theta cotg 2 theta

Passo 1

Já sabemos que

underset(theta -> 0)(lim) (s e n theta)/(theta) = underset(theta -> 0)(lim) (theta)/(s e n theta) = 1

Precisamos encontrar uma expressão parecida com essa então...

Sabemos que

c o t g 2 theta = (cos 2 theta)/(sen 2 theta)

𝐸ntão

underset(theta -> 0)(lim) s e n theta cotg 2 theta = underset(theta -> 0)(lim) s e n theta (cos 2 theta)/(s e n 2 theta)

Além disso

s e n 2 theta = 2 s e n theta cos theta

Então, teremos

underset(theta -> 0)(lim) s e n theta (cos 2 theta)/(2 s e n theta cos theta) = underset(theta -> 0)(lim) (cos 2 theta)/(2 cos theta)

Substituindo, teremos que

underset(theta -> 0)(lim) (cos 2 theta)/(2 cos theta) = underset(theta -> 0)(lim) (cos 2 . 0)/(2 cos 0) = (1)/(2)

Resposta

(1)/(2)

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