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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 24

Encontre o limite.

underset(x -> 0^+)(lim) t g x ln x

Passo 1

Primeiramente vamos arrumar isso aqui:

underset(x -> 0^+)(lim) t g x ln x

underset(x -> 0^+)(lim) (s e n x)/(cos (x)) * ln x

Separando isso em dois limites temos:

(underset(x -> 0^+)(lim) s e n x ln x)/(underset(x -> 0^+)(l i m) cos x)

Passo 2

O limite do cosseno de x sabemos que dá 1, ficanod então com:

underset(x -> 0^+)(lim) s e n x ln x

underset(x -> 0^+)(lim) ((ln x)/(1))/(s e n x)

Agora temos um limite do tipo (oo)/(oo) . Maravilha, com isso a gente pode aplica L'hopital:

underset(x -> 0^+)(lim) ((1)/(x))/(- (cos x)/(s e n^2 x))

underset(x -> 0^+)(lim) (- s e n^2 x)/(x c o s x)

Passo 3

Podemos agora então separar isso daí em dois limites, ficando com:

underset(x -> 0^+)(- lim) (1)/(cos x) * underset(x -> 0^+)(lim) (s e n^2 x)/(x)

O primeiro limite sabemos que vai pra zero, então, no final das contas estamos procurando o resultado de:

underset(x -> 0^+)(lim) (s e n^2 x)/(x)

Passo 4

Aplicamos mais uma vez então a regra de L’hopital ficando com:

underset(x -> 0^+)(- lim) 2 s e n^2 x c o s x

Então podemos substituir o valor do limite:

2 * s e n 0 * c o s 0

2 * 0 * 1 = 0

Resposta

0

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Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê. lim x → 1 ⁡ x a -
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 ⁡ x + sen ⁡ x x
Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê. lim x → 4 ⁡ x 2 -
Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê. lim x → 0 ⁡ tan ⁡
Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê. lim x → 3 ⁡ x - 3